Tėvai – tarnautojai. Sesuo (g. 1951 m.) – medikė.

1957–1968 m. mokėsi Daugų (Alytaus r.) vidurinėje mokykloje. 1968–1974 m. studijavo Kauno medicinos instituto Gydomajame fakultete, įgijo gydytojo chirurgo išsilavinimą.

1974–1975 m. G. Klimkevičius buvo gydytojas internas, dirbo Panevėžio miesto ligoninėje gydytoju subordinatoriumi.

Nuo 1975 m. jis gyvena ir iki pensijos dirbo Anykščiuose.

1975–1982 m. G. Klimkevičius buvo Anykščių rajono centrinės ligoninės Chirurgijos skyriaus gydytojas ordinatorius.

1987–1997 m. jis buvo Anykščių rajono centrinės ligoninės Chirurgijos skyriaus vedėjas. Po įstaigos pertvarkymo nuo 1997 m. jis dirbo viešosios įstaigos Anykščių rajono savivaldybės ligoninės Chirurgijos skyriaus vedėju, po šios įstaigos struktūros pertvarkymo 2018–2023 m. buvo Chirurgijos sektoriaus Chirurgijos poskyrio vedėjas, kol 2023 m. gruodį išėjo į pensiją.

G. Klimkevičius buvo Tėvynės Sąjungos (Lietuvos konservatorių) narys, dabar partijai nepriklauso.

1990–1995 m. jis buvo Anykščių rajono tarybos deputatas. Kaip Tėvynės Sąjungos (Tėvynės Sąjungos – Lietuvos krikščionių demokratų) atstovas G. Klimkevičius buvo išrinktas Anykščių rajono savivaldybės 1995–1997 m., 1997–2000 m., 2000–2003 m., 2003–2007 m., 2007–2011 m., 2011–2015 m., 2015–2019 m. ir 2019–2023 m. kadencijų tarybos nariu.

G. Klimkevičius yra vienintelis Anykščių rajono politikas, 1990–2023 m. be pertraukos dirbęs Anykščių rajono savivaldybės taryboje.

Jis dirbo Sveikatos ir ekologijos komitete, 2007–2011 m. buvo šio komiteto pirmininkas, 2011–2015 m. buvo Socialinių reikalų, sveikatos ir aplinkos apsaugos komiteto narys. 2015–2019 m. jis buvo Socialinių reikalų, sveikatos ir aplinkos apsaugos komiteto narys, šio komiteto pirmininkas, Anykščių rajono savivaldybės atstovas Panevėžio teritorinės ligonių kasos stebėtojų taryboje (nuo 2015 m.), 2019–2023 m. – Socialinių reikalų, sveikatos ir aplinkos apsaugos komiteto narys.

Jis dalyvavo 2023–2027 m. Anykščių rajono savivaldybės tarybos rinkimuose kaip Tėvynės Sąjungos – Lietuvos krikščionių demokratų sąrašo kandidatas, 2023 m. spalį galėjo užimti likusią laisvą Tarybos nario vietą, bet mandato atsisakė.

Lietuvos Respublikos 100-mečio proga jis apdovanotas Anykščių rajono savivaldybės "Šimtmečio anykštėno" atminimo ženklu (2018 m.).

Laisvalaikį skiria darbui sode, kelionėms, buvimui laukinėje gamtoje.

Susituokė 1973 m., žmona Vaida Klimkevičienė (1952–2018) – gydytoja terapeutė. Liko našlys. Vaikai: Jūratė Klimkevičiūtė-? (g. 1974 m.) – verslininkė ir Arūnas Klimkevičius (g. 1986 m.) – inžinierius, vadybininkas.