Tėvai: Ignas Asminavičius (1845–1919) ir Teofilė Blėkytė-Asminavičienė. Broliai ir sesuo: Gabrielius Asminavičius (1873–1873) – mirė kūdikystėje, Bonifacas Asminavičius (1875–1931) – žemdirbys ūkininkas, Andrius Asminavičius (1877–1945) – žemdirbys ūkininkas, Elžbieta Asminavičiūtė (1882–1955), Pranciškus Asminavičius (1884–1889) – mirė vaikystėje.

Motinai mirus, o tėvui vėl vedus, augo su pamote Domicele Milašiūte-Asminavičiene (?–1933) ir naujoje šeimoje gimusiu broliu Petru Asminaičiu-Asminavičiumi (1897–1945) – kariškiu topografu.

1904–1909 m. baigė Kauno Žemaičių kunigų seminariją.

1909 m. birželio 14 d. J. Asminavičius buvo įšventintas kunigu.

1909–1914 m. tarnavo vikaru Švėkšnoje (Šilutės r.), 1914–1915 m. – Rokiškyje, kur talkino klebonui Martynui Jankauskui.

Perkeltas 1915 m. gruodį, 1915–1917 m. J. Asminavičius tarnavo Troškūnų (Anykščių r.) Švč. Trejybės parapijos vikaru, talkino klebonui Antanui Stapulioniui iki jo mirties, paskui trumpai Antanui Pauliukui.

Perkeltas 1917 m. gruodį, 1917–1919 m. jis buvo Upninkų (Jonavos r.) – Veprių (Ukmergės r.) parapijos administratorius.

Paskirtas 1919 m. gegužės 24 d., 1919–1940 m. J. Asminavičius buvo Utenos Kristaus Žengimo į dangų parapijos klebonas, 1928–1940 m. – ir Utenos dekanas. 1922–1923 m. jis buvo ir karo kapelionas, rūpinosi Utenoje dislokuoto Lietuvos kariuomenės dalinio karių sielovada.

Utenoje jis aptvėrė mūro tvora kapines, sutvarkė bei 1927 m. dekoravo bažnyčios vidų. Jo rūpesčiu Utenoje 1921–1926 m. buvo pastatyti nauji parapijos ūkiniai pastatai, įsteigtas elgetynas. Utenoje jis ugdė vikarus: 1925–1930 m. – Juozapą Bardišauską, 1930–1935 m. – Joną Rimšą, nuo 1938 m. – Povilą Jankevičių.

Jo iniciatyva 1930 m. į Uteną buvo pakviestos ir čia įsikūrė moterys vienuolės, 1930–1940 m. vadovavusios prieglaudai, išlaikiusios vaikų darželį ir mergaičių pensioną. Jis buvo Utenos "Saulės" draugijos pirmininkas, rūpinosi šios draugijos gimnazijos veikla.

Utenos dekanas J. Asminavičius įkūrė Biliakiemio (Utenos r.) parapiją ir 1937–1940 m. pastatė Biliakiemio Švč. Mergelės Marijos vardo bažnyčią. Pirmosios sovietinės okupacijos pradžioje bijodamas, kad naujas pastatas iš parapijos bus atimtas ir pritaikytas kitai paskirčiai, 1940 m. rugpjūčio 11 d. jis skubiai pašventino baigiamą statyti bažnyčią ir pats iš Utenos persikėlė į Biliakiemį.

1940–1955 m. jis buvo pirmasis Biliakiemio parapijos klebonas. 1941 m. jis priglaudė Biliakiemyje kaip altaristą sergantį kunigą Joną Rimšą ir padėjo jam sustiprėti.

Dėl blogėjančios sveikatos 1955 m. lapkričio 30 d. atsisakęs pareigų, 1955–1966 m. senatvę jis praleido gimtojoje Salako parapijoje kaip altarista. Mirus Salako klebonui, 1962–1966 m., iki gyvenimo pabaigos, jis, nors ir būdamas labai silpnos sveikatos, laikinai ėjo Salako Švč. Mergelės Marijos Sopulingosios parapijos klebono pareigas, nes kitas dvasininkas į parapiją nebuvo skiriamas.

J. Asminavičius buvo Panevėžio vyskupijos kapitulos kanauninkas, nuo 1944 m. – garbės kanauninkas.

Mirė 1966 m. lapkričio 9 (10) d. Salake (Zarasų r.). Palaidotas Salako bažnyčios šventoriuje. Kapą ženklina akmeninis paminklas-stela su portretiniu atvaizdu ir iškaltu kryžiaus reljefu, jo postamente iškaltas įrašas: "A+A / Kan. Jonas Asminavičius / 1886–1966 / "Aš pasitikiu Viešpačiu" / Jo globėjai".

Biliakiemio bažnyčios pastatymo 50-mečio proga šventoriuje buvo pastatytas paminklinis akmuo J. Asminavičiui atminti (1990 m.). J. Asminavičiaus vardu pavadinta gatvė Biliakiemyje (Utenos r.).

J. Asminavičiaus gyvenimas ir veikla pristatyti Vytauto Indrašiaus kunigų biografijų rinkinyje "Doros, šviesos ir tiesos apaštalai" (2003 m.).