Tėvai: Jonas Varnas (1884–1960) ir Petronėlė Blauzdytė-Varnienė (1890–1940). Broliai Antanas Varnas ir Vytautas Varnas (1930–2017), seserys Stefanija Varnaitė ir Veronika Varnaitė.

Sulaukęs šaukiamojo amžiaus, buvo pašauktas į Lietuvos kariuomenę, atliko privalomąją karo tarnybą. Kariuomenėje pasižymėjo kaip gabus savamokslis skulptorius – sukūrė iš molio generolo Stasio Raštikio biustą.

1940–1947 m. su pertrauka K. Varnas studijavo Lietuvos valstybiniame dailės institute Vilniuje, įgijo dailininko skulptoriaus išsilavinimą. Antrojo pasaulinio karo metais vokiečių okupacinei valdžiai 1943 m. institutą uždarius, jis pasiliko Anykščiuose ir 1944–1945 m. dirbo Anykščių gimnazijoje piešimo mokytoju.

Nuo 1945 m. rudens jis grįžo į Vilnių, tęsė ir baigė studijas. Kaip diplominį darbą 1947 m. jis sukūrė skulptūrą "Žvejys" (darbo vadovas – Petras Aleksandravičius), sulaukusią labai gero įvertinimo.

Nuo 1948 m. pavasario K. Varnas gyveno Anykščiuose ir dirbo 1948–1949 m. Anykščių gimnazijoje, 1949 m. rudenį – Anykščių vidurinėje mokykloje dailės mokytoju.

Nuo 1949 m. K. Varnas nuolat sirgo ir gydydamasis gyveno Anykščiuose bei Romainių tuberkuliozinėje ligoninėje Kaune, tuo pačiu metu, kiek turėdavo jėgų, kūrė skulptūrinius portretus, figūrines kompozicijas, bareljefus.

Jis sukūrė rašytojo Antano Žukausko-Vienuolio, mokytojų Leono Vaitiekūno, Alfonso Bielinio, Rapolo Šaltenio, Prano Šulgos bareljefus, rašytojų Antano Baranausko (1947 m.), Jono Biliūno (1947 m.), mokytojo Rapolo Dobino ir savo tėvų biustus, paminklą su bareljefu revoliucionieriui Juozui Opanskiui (1969 m.), teminius bareljefus "Valstietis slepia savo gyvulius", "1863 metų sukilimo aidai", "Jono Biliūno vaikystė", "Kolūkio talkininkai", "Anykščių legenda" (1968 m.), skulptūras "Grybautojas", "Paukštininkė", "Sėdinti figūrėlė", nutapė Sofijos Šaltenienės portretą ir kitus kūrinius.

Nuo 1947 m. K. Varnas dalyvavo parodose, nuo 1960 m. buvo Lietuvos SSR dailininkų sąjungos narys.

Dailininkų sąjungos ir Dailės fondo konkurse Lietuvos SSR 10-mečiui K. Varnas pelnė premiją už skulptūrinį projektą "Kolūkio veršelių augintoja" (1949 m.).

Laisvalaikiu rašė dienoraštį, nedidelės apimties prozos kūrinius.

Buvo vedęs, žmona Liudvika Bedunkevič-Morkūnaitė-Varnienė (1927–2004). Duktė Andromeda Varnaitė (g. 1968 m.).

Mirė 1971 m. vasario 27 d. Anykščiuose. Palaidotas Anykščių senosiose kapinėse šeimos kape. Kapą ženklina pilko šlifuoto akmens paminklas-stela su originaliu portretiniu bareljefu ir iškaltu įrašu lentelėje: "Kazimieras Varnas / 1913–1971 / Liudvika Varnienė / 1927–2004".

Lietuvos nacionalinis dailės muziejus yra įsigijęs ir saugo tris jo skulptūrinius kūrinius: "Brigadininkas girdo arklį" (gipsas, reljefas, 56x90,5 cm, 1963 m.), "Tutkaus portretas" (gipsas, reljefas, 45x36,5 cm, 1966 m.) ir "Baudžiava" (gipsas, reljefas, 64x94 cm, 1969 m.). Kitas kūrybinis palikimas saugomas privačiuose rinkiniuose bei Anykščių menų centre. Išlikusi jo skulptūra "Žvejys" (1947 m.) saugoma Anykščių meno mokyklos muziejinėje ekspozicijoje.