Augo keturių vaikų šeimoje su trim jaunesniais broliais, buvo vyriausias. Tėvui išvykus į Ameriką uždarbiauti ir nebegrįžus, nuo mažens užaugo su motina.

Vaikystėje piemenavo, kol apie 1938 m. susirgo džiova ir neteko sveikatos, liko nepagydomas ligonis. Neturėdamas lėšų gydytis, beveik dešimtmetį gyveno namuose slaugomas kaip beviltiškas ligonis.

Antrosios sovietinės okupacijos metais įsteigus kaulų tuberkuliozės sanatoriją buvusiame Vyžulėnų dvare, ketverius metus P. Papšys gydėsi Vyžulionyse (Vilniaus r.), kol jo sveikata kiek pagerėjo, bet negalia išliko visam gyvenimui.

Baigė aštuonias klases, daugiau nesimokė, gyveno ir kūrė gimtinės sodyboje Dirvonuose.

Nuo jaunystės, negalėdamas fiziškai dirbti, pamėgo piešti, paskui drožinėti. Gydydamasis sanatorijoje, buvo paskatintas savo kūrinius parodyti liaudies meno žinovams, taip buvo pastebėtas ir įvertintas.

P. Papšys kūrė kamerinio formato medžio skulptūrų kompozicijas, daugiausiai droždamas siužetus iš beržo ir liepos medienos.

Jis sukūrė medžio drožinius – skulptūrines kompozicijas "Prie šulinio", "Ariau, ariau lygiuosius laukelius", "Klumpius", drožinius "Į turgų", "Gintarėlį tau nešu ant delno", "Briedžių šeima", "Degtindaris", "Knygnešys", "Išvaduotojas", "Sode", "Į malūną" ir kt. Jo kūriniai pasklido po privačius tautodailės rinkinius, buvo išdalijami bičiuliams.

Jis eksponavo savo drožinius Respublikinėse liaudies meno parodose Vilniuje (1967, 1970 m.), Vilniaus zonos tautodailės parodoje Eišiškėse (Šalčininkų r., 1968 m.).

Nuo 1969 m. jis buvo Lietuvos SSR liaudies meno draugijos, Nepriklausomoje Lietuvoje – Lietuvos tautodailininkų sąjungos narys, pelnė liaudies meistro vardą (1967 m.).

Šeimos nesukūrė.

Mirė 2015 m. gruodžio 23 d. Dirvonuose (Anykščių r.). Palaidotas Kurklių kapinėse.

Lietuvos tautodailininkų sąjungos fonde saugomos jo medžio skulptūros "Lazda" (1972 m.) ir "Nesutarimas" (1972 m.). Anykščių menų centro Angelų muziejuje saugoma jo medžio skulptūra "Angelas su balandžiu" (1968 m.). A. Baranausko ir A. Vienuolio-Žukausko memorialinis muziejus saugo jo drožinį "Džiaugsmas".