Gimimo data kitų šaltinių duomenimis – 1908 m. spalio 20 d.

Tėvai: Kazimieras Vitkūnas (? – apie 1918) ir Ona Andriūnaitė-Gindrūnaitė-Vitkūnienė (1884 – apie 1918) – žemdirbiai ūkininkai. Brolis Kazimieras Vitkūnas (1910–1979) – žemdirbys.

Tėvams per šiltinės epidemiją mirus, nuo vaikystės kartu su broliu augo pas dėdę, dirbo šeimos ūkyje, nuo 1924 m. – samdiniu pas ūkininkus.

1927 m. J. Vitkūnas, ieškodamas geresnio pragyvenimo šaltinio, emigravo į Kanadą, kur pasiliko iki gyvenimo pabaigos.

Iš pradžių jis dirbo žemės ūkyje samdomu darbininku, vėliau buvo Saskačevano provincijos kasyklų darbininkas, kol susižalojęs iš tokio darbo pasitraukė.

XX a. 4-ajame dešimtmetyje J. Vitkūnas su verslo partneriu įkūrė privatų viešbutį ir kiek laiko jį eksploatavo. 1939 m. Europoje kilus Antrajam pasauliniam karui, vengdamas galimos karo tarnybos, jis įsidarbino Toronto "Massey-Harris" traktorių fabrike mechaniku.

Užsidirbęs pakankamai lėšų, XX a. viduryje Toronte jis įsigijo degalinę ir ją eksploatavo 35 metus iki senatvės, prie degalinės atidarė ir automechanines dirbtuves, kol dėl ligos iš šio verslo pasitraukė.

J. Vitkūnas buvo Kanados lietuvių kultūrinių ir patriotinių iniciatyvų rėmėjas, nuo 1976 m. – Kanados lietuvių fondo narys, vis pildęs savo įnašus.

Lietuvai atgavus Nepriklausomybę, J. Vitkūnas, šeimos palaikomas, nusprendė didelę asmeninių santaupų dalį skirti Kaune toliau statomai Prisikėlimo bažnyčiai. Šios bažnyčios atstatymo iniciatorių paskatintas, už 200 tūkst. Kanados dolerių (kitų šaltinių duomenimis – apie 250 tūkst. JAV dolerių) jis nupirko Vokietijoje "Allen" firmos elektrinius vargonus, skirdamas juos specialiai atkuriamai šventovei.

Jo dovana į Lietuvą buvo atgabenta 1991 m. sausio 13 d. ir 13 metų saugota Kauno medicinos universiteto klinikose. 2004 m. bažnyčios atkuriamieji darbai buvo baigti, tuomet vargonai užėmė jiems skirtą vietą – specialiame balkone virš pagrindinio įėjimo. Aukotojo valia jo vardas iki J. Vitkūno mirties buvo neskelbiamas, jis tapo žinomas tik mecenatui mirus.

Amžininkų prisiminimuose išliko kaip tylus, uždaras, savyje užsisklendęs žmogus.

Buvo vedęs, žmona Janina Levanauskaitė-Baltrienė-Vitkūnienė (Jennie Levanauskas-Baltras-Vitkunas, 1920–2009) iš Tauragės – nuo 1936 m. emigrantė Kanadoje. Vaikai: Jonas Vitkunas (g. 1961 m.) ir Vida Vitkunas-Gallop (g. 1963 m.). Rūpinosi žmonos vaikais iš jos pirmosios santuokos Aldona Baltras-Podsadecki (1941–2020) ir Danute Baltras-Bonner.

Mirė 1993 m. sausio 8 d. Toronte (Kanada). Palaidotas Anapilio Šv. Jono lietuvių  kapinėse Misisaugoje (Mississauga, Kanada).

J. Vitkūno pavardė įrašyta šalia kitų Kauno Prisikėlimo bažnyčios kūrėjų marmuro lentoje, pritvirtintoje šalia paradinių šios bažnyčios durų. Prie šios bažnyčios vargonų pritvirtinta memorialinė lentelė, liudijanti J. Vitkūno dovaną.

J. Vitkūno gyvenimas ir veikla pristatoma Aldonos Karkauskienės genealoginės kraštotyros rinkinyje "Apeikiai : giminės istorija" (2022 m.).