Tėvai: Zigmas Kunaitis (1896–1975) ir Apolonija Kunaitienė (1894–1984). Sesuo Bronislava Irena Kunaitytė-Grigišauskienė (1926–2020), brolis Jonas Kunaitis (1931–2014).

Baigė mokytojų kursus.

Paskirtas 1949 m. rugsėjo 1 d., 1949–1951 m. J. Kūnaitis dirbo Pašilių (Anykščių r.) pradinės mokyklos mokytoju. Perkeltas nuo 1951 m. rugsėjo 1 d., vieną mėnesį, iki rugsėjo 30 d., jis buvo Šlavėnų (Anykščių r.) pradinės mokyklos vedėjas, kol pateikė prašymą jį iš šių pareigų atleisti ir iš Anykščių krašto išvyko.

Nuo 1951 m. J. Kūnaitis gyveno Linkuvoje (Pakruojo r.) ir iki pensijos dirbo Linkuvos K. Požėlos vidurinėje mokykloje darbų mokytoju.

Senatvę J. Kūnaitis praleido Panevėžyje.

Vedė apie 1949 m., žmona Valerija Pielaitė-Kūnaitienė (1924–2001) – pedagogė pradinių klasių mokytoja. Užaugino sūnų Vytautą Kūnaitį.

Mirė 2004 m. Panevėžyje. Palaidotas Panevėžio Kristaus Karaliaus katedros kapinėse šeimos kape (35 kvartalas, 12 eilė, 8 kapavietė). Kapą ženklina trijų akmeninių stelų paminklinė kompozicija, kairiojoje pilko akmens steloje įtaisytos trys portretinės nuotraukos ir iškaltas įrašas: "Juozas Pielia / 1889–1971 / Ona Pielienė / 1902–1987 / Juozas Kūnaitis / 1925–2004 / Valerija Kūnaitienė / 1924– 2021".