Tėvai: Stanislovas Treinys (1936–1995) ir Valerija Treinienė (1942–1994). Sesuo Jūratė Treinytė-Svetikienė – medikė.

1978–1989 m. baigė Panevėžio 10-ąją vidurinę mokyklą (dabar – Panevėžio Skaistakalnio pagrindinė mokykla). 1989–1996 m. studijavo Vilniaus universiteto Medicinos fakultete, įgijo gydytojo pediatro ir intensyviosios terapijos gydytojo išsilavinimą

1996–2010 m. Ž. Treinys gyveno Panevėžyje ir dirbo medicinos srityje.

1996–2005 m., atlikęs rezidentūrą Panevėžio respublikinėje ligoninėje, jis buvo Panevėžio respublikinės ligoninės vaikų intensyvios terapijos skyriaus gydytojas, 2009–2010 m. – Panevėžio infekcinių ligų klinikos gydytojas.

2003–2010 m. jis dirbo ir farmacijos kompanijoje "Teva Pharmaceuticals" medicinos atstovu.

Ieškodamas dvasinės ramybės ir pilnatvės, 2005 m. jis įsiliejo į vienuolių jėzuitų globojamą Panevėžio krikščioniškojo gyvenimo bendruomenę.

Pasitraukęs iš gydytojo profesinės veiklos, 2010–2016 m. jis baigė Vilniaus Šv. Juozapo kunigų seminariją, įgijo teologijos magistro išsilavinimą. 2016 m. sausio 16 d. įšventintas diakonu, kovo–liepos mėnesiais jis tarnavo Utenos Dievo Apvaizdos parapijoje diakonu.

2016 m. liepos 3 d. Kauno arkivyskupas Lionginas Virbalas SJ Panevėžio Kristaus Karaliaus katedroje įšventino Ž. Treinį kunigu.

2016–2018 m. Ž. Treinys tarnavo Utenos Dievo Apvaizdos parapijoje vikaru. Perkeltas 2018 m. birželio 29 d., 2018–2023 m. jis buvo Panevėžio Šv. apaštalų Petro ir Povilo parapijos vikaras.

Paskirtas 2023 m. birželio 30 d., nuo 2023 m. jis yra Anykščių Šv. Mato parapijos vikaras, talkina klebonui Petrui Baniuliui.

Laisvalaikiu domisi filosofine literatūra, jaunystėje mėgo roko muziką.