Tėvas Jurgis Alekna (1858–1919) iš Bikonių (Kupiškio r.) ir Kotryna Urbonaitė-Aleknienė (?–1925) – valstiečiai žemdirbiai. Augo aštuonių vaikų šeimoje, buvo jauniausias. Broliai ir seserys: Jonas Alekna (1881–1967), Juozapas Alekna (1885–?) – mirė vaikystėje, Felicijonas Alekna (1887–1968), Magdalena Aleknaitė-Grucewicz Roach (1889–1973) – emigrantė JAV, Antanas Alekna-Anthony J. Alekna (1891–1987) – emigrantas JAV, Elžbieta Aleknaitė-Navalinskienė (1895–1976), Apolonija Aleknaitė (1897–1898) – mirė vaikystėje.

Apie 1924 m. J. Alekna buvo mobilizuotas į tarnybą Lietuvos kariuomenėje. Jis tarnavo 5-ajame pėstininkų Didžiojo Lietuvos kunigaikščio Kęstučio pulke, buvo šio pulko orkestro muzikantas, grojo klarnetu.

Iki 1928 m. J. Alekna dirbo vargonininku Joniškyje, ten subūrė pučiamųjų orkestrą ir jame grojo klarnetu.

Apie 1929–1935 m. J. Alekna buvo Kurklių (Anykščių r.) bažnyčios vargonininkas, organizavo daugiau kaip 20 asmenų parapijos chorą. Jo paskatinti Kurklių parapijos vyrai savo lėšomis nusipirko instrumentus ir 1929 m. susibūrė į Kurklių dūdų orkestrą.

1935–1940 m. J. Alekna dirbo Ukmergės bažnyčioje vargonininku. Ukmergėje jis vadovavo bažnyčios chorui, kuris giedojo tik religines giesmes.

Po Antrojo pasaulinio karo J. Alekna gyveno Anykščiuose ir iš pradžių dirbo Anykščių Šv. Mato bažnyčioje vargonininku.

Pokario metais jis buvo pirmasis chorvedys, pradėjęs telkti anykštėnus chorinei muzikai. 1948 m. jis subūrė pirmąjį Anykščių vyno gamyklos mišrų chorą, kurį parengė 1950 ir 1955 m. respublikinėms dainų šventėms. Jis įkūrė ir Anykščių vyno gamyklos kaimo kapelą, pats joje grojo klarnetu. Jo suburta kapela koncertavo apie tris dešimtmečius.

1961 m. sausio 1 d. Anykščiuose įsteigus septynmetę muzikos mokyklą, 1961–1964 m. J. Alekna buvo šios mokyklos muzikos (akordeono) mokytojas. Po įstaigos pertvarkymo 1964–1967 m. jis dirbo akordeono mokytoju Anykščių vaikų muzikos mokykloje. Tarp jo mokinių užaugo ir muzikos pedagogas bei chorvedys Romaldas Gižinskas.

1961–1963 m. jis  buvo ir Anykščių miesto vaikų darželio muzikos mokytojas. Pertvarkius įstaigą, 1963–1964 m. jis dirbo Anykščių miesto vaikų lopšelio-darželio muzikos mokytoju.

1967–1971 m. ir vėliau jis dar keletą metų dirbo Anykščių vaikų muzikos mokykloje bibliotekininku, pavaduodavo šios mokyklos mokytojus, kol išėjo į pensiją.

Jis surinko Kurklių dūdų orkestro dalyvius ir paminėjo šio orkestro 40-metį (1969 m.) ir 50-metį (1979 m.).

Senatvę J. Alekna praleido Vilniuje kartu su sūnaus šeima.

Laisvalaikiu grodavo įvairiais instrumentais: pianinu, smuiku, klarnetu.

Susituokė 1933 m., žmona Adelė Keblaitė-Aleknienė (1910–1994) iš Pasiekų (Ukmergės r.). Liko našlys. Sūnus Rimvydas Alekna (1935–2001). Anūkas Gabrielius Alekna (g. 1975 m.) – muzikas pianistas, muzikos pedagogas, gyvenantis ir dirbantis JAV.

Mirė 1997 m. gegužės 15 d. Vilniuje.