Sesuo Paulina Babrauskaitė (apie 1856 – 1913).

Baigė kunigystės studijas.

1892 m. K. Babrauskas buvo įšventintas kunigu.

Atvykęs 1897 m. spalį, 1897–1903 m. K. Babrauskas tarnavo Kurklių (Anykščių r.) Šv. Jurgio parapijoje vikaru, talkino klebonui Tomui Paltarokui.

1905–1908 m. K. Babrauskas tarnavo Siesikų (Ukmergės r.) parapijoje vikaru.

Paskirtas 1908 m., 1908–1926 m. K. Babrauskas tarnavo Vaitkuškio (dabar – Pašilė, Ukmergė) Šv. Barboros bažnyčios kuratu, buvo Pabaisko parapijos kunigas filialistas. 1926 m. įsteigus Vaitkuškio parapiją, nuo 1926 m. du dešimtmečius jis buvo pirmasis šios parapijos klebonas.

1919 m. Lietuvos Nepriklausomybės kovų laikotarpiu jis rūpinosi karo ligoninės atidarymu ir aprūpinimu Ukmergėje, organizavo aukų rinkimą.

1921 m. jo iniciatyva Vaitkuškyje buvo suburta Lietuvių katalikų jaunimo sąjungos "Pavasaris" kuopa, K. Babrauskas 1921 m. vasario 21 d. buvo išrinktas šios kuopos valdybos pirmininku. Dvasininko dėka ir jo finansiškai remiama kuopa vis stiprėjo, iki 1926 m. išaugo iki 100 narių, turėjo gausią savo biblioteką.

Jo vadovaujami Vaitkuškio (Pašilės) pavasarininkai Lietuvos Nepriklausomybės 10-mečio proga 1928 m. pagal Petro Tarabildos projektą pastatė Pašilės stogastulpį,  išlikusį iki XXI a. pradžios toje pačiojoe vietoje, kur ir buvo pastatytas.

Sulaukęs kunigystės 50-mečio, nuo 1942 m. K. Babrauskas buvo kunigas jubiliatas.

Antrosios sovietinės okupacijos pradžioje uždarius bažnyčią ir joje įrengus kino teatrą, K. Babrauskas senatvėje liko gyventi Vaitkuškyje (Pašilėje).

Mirė 1955 m. spalio 26 d. Vaitkuškyje (dabar – Pašilė, Ukmergė). Palaidotas Pašilės kapinėse (3 kvartalas, 175 kapavietė). Kapą ženklina iškilus akmeninis paminklas-kryžius, jo masyviame postamente įtaisytas metalinis portretinis bareljefas ir iškaltas įrašas: "Kun. Kajetonas / Babrauskas / Ilgametis Pašilės par. / klebonas. / 1868.X.8–1955.X.26 / Requiescat in pace. / Kas pasitiki Viešpaties pagalba, / tas pasilieka Dievo globoje. (B. 90,1) / Liūdi giminės."