Tėvai: Virmantas Velikonis (g. 1961 m.) – agronomas, verslininkas, valstybės tarnautojas, ir Julija Velikonienė – kosmetologė. Sesuo Dovilė Velikonytė-Berg (g. 1988 m.) – ekonomistė.

1992–2003 m. baigė Anykščių Jono Biliūno vidurinę mokyklą. 2003–2007 m. studijavo St. Johnso universiteto Peterio J. Tobino verslo koledže (Niujorkas, JAV), studijas baigė su pagyrimu ir įgijo finansų bakalauro bei magistro išsilavinimą. Studijuodamas jis aktyviai dalyvavo studentų visuomeninėje veikloje, buvo Št. Johnso universiteto investicijų tyrimų iššūkio komandos kapitonas, Universiteto ekonomikos ir finansų draugijos narys.

Studijuodamas 2006 m. sausį–gegužę B. Velikonis kaip praktikantas dirbo finansų kompanijoje "Merrill Lynch" Niujorke (JAV), atliko tyrimą apie akcijas ir fondus, darė klientų portfelių analizę. Trumpam grįžęs į Europą, 2006 m. gegužę–rugpjūtį jis dirbo Europos Parlamente Briuselyje (Belgija) asistentu, dalyvavo tyrime apie euro zonos plėtrą.

Baigęs studijas, B. Velikonis toliau gyveno ir dirbo Niujorke (JAV), 2007–2009 m. buvo audito kompanijose KPMG US audito asistentas, atliko finansinių paslaugų įmonių auditus.

2009 m. persikėlęs į Londoną (Didžioji Britanija), 2009–2011 m. jis dirbo kompanijos "Barclays Wealth Management" vidaus audito vadovu.

Nuo 2011 m. iki šiol B. Velikonis gyvena ir dirba Vilniuje. Jis yra finansų ir nekilnojamojo turto specialistas, sertifikuotas viešasis buhalteris (CPA), dirbęs su finansinių ataskaitų auditu pagal GAAP (Bendruosius priimtus apskaitos principus) ir IFRS (Tarptautinius finansinės atskaitomybės standartus), taip pat turi patirties finansinių tyrimų ir makroekonominės analizės srityse.

2011–2013 m. jis buvo kompanijos "Deloitte" vyresnysis konsultantas, teikė konsultacijas vadybos, rizikos valdymo, vidaus audito, verslo procesų optimizavimo, finansinių tyrimų srityse.

2014–2015 m. jis dirbo "Invest Lithuania" vyresniuoju investicijų patarėju, vadovaudamas komandai, pritraukiančiai tarptautines įmones į Lietuvą. Jis konsultavauo bendroves "Lindorff", "Barclays", "Nasdaq", AIG, organizavo pirmąjį "Shared Services Centers" bendruomenės susitikimą Lietuvoje.

2015–2018 m. B. Velikonis dirbo didžiausioje Baltijos regione nekilnojamojo turto paslaugų kompanijoje "Newsec" investicijų patarėju komercinio nekilnojamojo turto sandoriams. Jo veiklos apimtis per trejus metus siekė beveik 200 mln. eurų vertės nekilnojamo turto sandorių.

2018–2020 m. jis buvo kompanijos "Northern Horizon Capital" investuotojų ryšių vadovas, atsakingas už ryšių su investuotojais palaikymą ir Baltijos regiono komercinio nekilnojamojo turto apžvalgą.

2021–2022 m. jis dirbo verslo plėtros srityje įmonėje "Addere Care", siekdamas pagerinti senjorų priežiūrą Baltijos šalyse, remdamasis Švedijos priežiūros standartais ir modernia infrastruktūra.

Nuo 2022 m. vasario iki šiol B. Velikonis yra vienas iš prekės ženklo "Noxer Diamond Tools" (deimantinių gręžimo įrankių gamyba) įkūrėjų ir atsakingas už verslo plėtrą, uždarosios akcinės bendrovės "Triodrill" direktorius.

B. Velikonis yra Amerikos atestuotų viešųjų buhalterių instituto narys, Niujorko vertybinių popierių analitikų draugijos narys.

Paauglystėje ir jaunystėje, mokydamasis ir studijuodamas, B. Velikonis aktyviai sportavo – buvo plaukikas, daugiausiai plaukė laisvuoju stiliumi, 1995–2003 m. buvo Anykščių plaukimo sporto klubo "Vandenis" narys, tapo kandidatu į Lietuvos sporto meistrus. Geriausias jo sportinis rezultatas – 100 m laisvu stiliumi per 53,01 sek. B. Velikoniui taip pat priklauso daug Anykščių plaukimo rekordų.

Jis dalyvavo Lietuvos jaunučių žaidynėse (2001 m.) ir laimėjo aukso medalį, plaukdamas 100 m laisvu stiliumi, bei bronzos medalį, plaukdamas 100 m peteliške.

Kaip pirmasis Anykščių plaukikas, patekęs į Lietuvos plaukimo rinktinę, B. Velikonis dalyvavo Europos jaunimo olimpinių dienų plaukimo varžybose Murcijoje (Ispanija, 2001 m.), kur užėmė 18-ąją vietą, plaukdamas 100 m laisvuoju stiliumi.

Jis dalyvavo Europos jaunimo plaukimo čempionate Lince (Linz, Austrija, 2002 m.), kur užėmė 42-ąją vietą (50 m laisvuoju stiliumi per 25,12 sek.), ir Europos jaunimo  plaukimo čempionate Glazge (Glasgow, Didžioji Britanija, 2003 m.), kur užėmė 36-ąją vietą (50 m peteliške per 27,45 sek.) ir 40-ąją vietą (50 m. laisvuoju stiliumi per 25,71 sek.).

Studijuodamas JAV, jis buvo St. Johnso universiteto vyrų I diviziono plaukimo komandos narys.

2015–2016 m. jis žaidė futbolą vasaros futbolo lygoje, buvo komandos FC "ŽV" gynėjas.

Laisvalaikiu sportuoja, bėgioja.

Vedęs, žmona Ignė Velikonienė – verslininkė.