Tėvai: Juozapas Žvirblis (1863–1936) iš Grikiapelių – žemdirbys ūkininkas, 1917 m. lietuvių konferencijos Vilniuje dalyvis, ir Marijona Bublytė-Žvirblienė (1861–1919) iš Grikiapelių – žemdirbė ūkininkė. Augo gausioje šeimoje su keturiais broliais ir penkiomis seserimis. Broliai ir seserys: Anelė Žvirblytė-Pilkauskienė (apie 1892 – ?), Ona Žvirblytė-Baleišienė (1893–?), Juozapota Žvirblytė (1895–?), Veronika Žvirblytė-Šakėnienė (1897–?), Jonas Žvirblis (1898–1903) – mirė vaikystėje, Aleksandras Žvirblis (1900–?), Juozapas Žvirblis (1902–?), Kazimiera Žvirblytė (1904–?), Povilas Žvirblis (1905–?), Faustina Žvirblytė (1907–1914) – mirė vaikystėje, Antanas Žvirblis (1908–1908) – mirė kūdikystėje, Jonas Žvirblis (1911–1997) – kunigas, literatas. Dėdės (motinos broliai): Aleksandras Bublys (1872–1938) – kunigas, Juozas Zaborskis (1881–1944) – vaistininkas.

1910 m. kovo 15 d. Debeikių bažnyčioje jį pakrikštijo vikaras Mykolas Paškevičius, krikštatėviais buvo Jonas Kuprionis ir jo žmona Ona Kuprionienė.

1925 m. baigė Joniškio progimnaziją, 1928 m. – septynias klases Utenos "Saulės" gimnazijoje, 1929 m. – Telšių mažąją kunigų seminariją (aštuonias gimnazijos klases). 1929–1934 m. studijavo Vytauto Didžiojo universiteto Humanitarinių mokslų fakulteto Filologijos skyriuje, įgijo filologinį išsilavinimą.

Paskirtas 1934 m. rugpjūčio 1 d., 1934–1936 m. B. Žvirblis dirbo Anykščių vidurinėje mokykloje lotynų kalbos mokytoju.

1936 m. gegužę jis buvo mobilizuotas į Lietuvos kariuomenę ir pasiųstas į Karo mokyklą Kaune. Ją baigė 1937 m. rugsėjo 16 d. XII aspirantų laidoje ir gavo pėstininko jaunesniojo leitenanto karinį laipsnį, buvo paleistas į pėstininkų karininkų atsargą.

1937–1940 m. B. Žvirblis dirbo Kaišiadorių gimnazijoje mokytoju.

Nepriklausomoje Lietuvoje jis buvo Lietuvos šaulių sąjungos narys, Kaišiadorių šaulių būrio vadas.

Pirmosios sovietinės okupacijos laikotarpiu jis gyveno žmonos tėviškėje Svėdasuose (Anykščių r.).

Persikėlęs į Uteną, 1942–1944 m. B. Žvirblis dirbo Utenos gimnazijoje mokytoju, buvo pogrindinės "Kęstučio" organizacijos narys, Utenos štabo adjutantas, palaikė ryšius su centriniu šios organizacijos štabu.

Antrosios sovietinės okupacijos pradžioje pasitraukęs iš pedagoginės veiklos, 1945 m. balandį–spalį jis dirbo Rubikių (Anykščių r.) plytų gamykloje buhalteriu, vėliau išvyko į Kauną ir 1945–1946 m. dirbo medžio apdirbimo kombinate buhalteriu.

1945 m. rugpjūtį B. Žvirblis įsitraukė į Lietuvos Išlaisvinimo Komiteto, susikūrusio Skardupiuose (Marijampolės sav.), veiklą, pasirinko Inžinieriaus slapyvardį.

1945 m. rugsėjo 16 d. šiam Komitetui paskelbus rezoliuciją, kreipimąsi į lietuvių tautą ir rezistencines organizacijas, kviečiant visos Lietuvos partizanus jungtis į apygardas ir organizuoti partizanų būrius, jis ėmėsi burti 5-ąją apygardą Zarasų, Utenos, Ukmergės, Panevėžio ir Rokiškio apskrityse. 1945 m. lapkričio mėnesį Utenoje jis suformavo 5-osios apygardos štabą ir tapo šios apygardos vadu. Tačiau represinės struktūros per mėnesį nutraukė šią vos pradėtą pasipriešinimo veiklą, suėmė visus štabo narius, tik pats B. Žvirblis, iš Utenos pabėgęs į Kauną, tąkart suėmimo išvengė.

1946 m. balandžio 24 d. Kaune jis buvo suimtas, kalintas Vilniuje. 1946 m. birželio 26 d. Karo tribunolas nuteisė jį 10 metų lagerio ir 5 metams tremties.

1946–1950 m. B. Žvirblis kalintas Solikamske (Permės sr., Rusija), 1950 m. rugsėjo 24 d. pervežtas į Karagandos (Kazachstanas) lagerius, o nuo 1953 m. liepos 14 d. perkeltas į Kamyšlagą (Omsko sr., Rusija).

1955 m. birželio 24 d. jis paleistas iš lagerio ir išsiųstas į tremtį Vengerovo rajone (Novosibirsko sr., Rusija). 1956 m. balandžio 18 d. iš tremties paleistas ir tą pačią vasarą grįžo į Lietuvą, gyveno Panevėžyje, vėliau Svėdasuose.

Buvo vedęs, žmona Elena Vinkšnelytė-Žvirblienė (1916–2009) iš Svėdasų – Petro Vinkšnelio duktė. Užaugino tris vaikus.

Mirė 1996 m. kovo 5 d. Svėdasuose (Anykščių r.). Palaidotas Svėdasų kapinėse.

B. Žvirblio gyvenimas ir veikla pristatoma enciklopedinio žinyno "Lietuvos kariuomenės karininkai 1918–1953" 8-ajame tome (2008 m.).