Tėvai: Jonas Kaminskas ir Veronika Ivanauskaitė-Kaminskienė – Veliuonos valsčiaus valstiečiai žemdirbiai.

1888 m. sausio 18 d. Troškūnų bažnyčioje jį pakrikštijo klebonas Juozapas Gabševičius, krikštatėviais tapo vikaras Jonas Rusteika ir Aleksandra Gabševičiūtė.

Muzikos pradmenis gavo iš tėvo vargonininko. 

Nuo 1907 m. gyveno JAV, kur groti fortepijonu ir vargonais mokėsi pas pedagogus Mendžiką ir G. Philipotą. Vėliau muzikos mokėsi Popiežiaus Pijaus X liturginės muzikos mokykloje Niujorke.

A. Kaminskas vargonininkavo ir vadovavo chorams daugelyje parapijų: Kernio (Kearny, Naujojo Džersio valstija) Švč. Dievo Motinos Sopulingosios, Hazeltono (Pensilvanijos valstija) Šv. apaštalų Petro ir Povilo, Niujorko (New York City, Niujorko valstija) Aušros Vartų, Trupo (Throop, Pensilvanijos valstija) Šv. Antano, Džersio (Jersey City, Naujojo Džersio valstija) Šv. Onos, Bronkso (Bronx, Niujorkas, Niujorko valstija) Šv. Vaitiekaus, Nevarko (Newark, Naujojo Džersio valstija) Švč. Trejybės ir Tamakvos (Tamaqua, Pensilvanijos valstija) Šv. apaštalų Petro ir Povilo.

Kiek laiko jis vadovavo "Birutės" chorui Harisone (Harrison, Niujorko valstija).

Nuo 1931 m. rugsėjo 19 d. A. Kaminskas priklausė Amerikos lietuvių Romos katalikų vargonininkų sąjungai, buvo šios sąjungos Vajomingo (Wyoming) Klonio provincijos narys.

Mirė 1956 m. sausio 31 d. Tamakvoje (Pensilvanijos valstija, JAV).

A. Kaminsko biografija publikuojama Boleslovo Zubricko enciklopediniame žinyne "Pasaulio lietuvių chorvedžiai" (1999 m.).