Tėvai: Antanas Puodžiūnas (1887–1962) ir Rozalija Šližytė-Puodžiūnienė (1888–1968) iš Niūronių – valstiečiai žemdirbiai. Augo vyriausias vaikas šeimoje. Broliai ir seserys: Jonas Puodžiūnas (1914–?), Antanas Puodžiūnas (1917–?), Ona Puodžiūnaitė-Vilutienė, Vytautas Puodžiūnas, Bronislava Puodžiūnaitė-Steikūnienė ir Stanislava Puodžiūnaitė (1925–2017) – agronomė. Pusbrolis (motinos sesers Anelės sūnus) Balys Karvelis (1911–1996) – aviakonstruktorius.

1913 m. vasario 10 d. Anykščių bažnyčioje jį pakrikštijo vikaras Norbertas Pakalnis, krikštatėviai buvo Vincentas Šližys ir Teklė Puodžiūnaitė.

Augo Anykščiuose, mokėsi Anykščių vidurinėje mokykloje, 1933 m. baigė Ukmergės gimnaziją. 1933–1935 m. studijavo Vytauto Didžiojo universiteto Teisių fakultete Kaune, bet studijas turėjo palikti, 1935 m. lapkričio 6 d. Utenos komendantūros mobilizuotas į Lietuvos kariuomenę. 1935–1936 m. jis tarnavo 1-ajame pėstininkų Didžiojo Lietuvos kunigaikščio Gedimino pulke, 1936 m. rugsėjo 19 d. įstojo į Karo mokyklą Kaune ir 1937 m. rugsėjo 15 d. ją baigė 12-ojoje aspirantų laidoje atsargos jaunesniojo leitenanto kariniu laipsniu, buvo paleistas į pėstininkų karininkų atsargą.

1937–1940 m. B. Puodžiūnas toliau studijavo Vytauto Didžiojo universitete. Iki 1940 m. jis buvo Lietuvos šaulių sąjungos narys.

1940 m. rugpjūtį B. Puodžiūnas persikėlė iš Kauno į Vilnių ir tęsė teisės studijas Vilniaus universitete.

Pirmosios sovietinės okupacijos laikotarpiu jis įsitraukė į pogrindinę veiklą – platino pogrindinius laikraščius, tarp jų – ir "Laisva Lietuva".

1941 m. pavasarį B. Puodžiūnas dirbo Vilniaus autobusų stotyje apskaitininku. 1941 m. balandžio 16 d. sovietinės valdžios pareigūnai jį suėmė kaip artimai dalyvavusį, kuriant pogrindžio organizaciją, įtardami jį esant pogrindinio "Šaulių mirties bataliono" nariu.

Daugiau kaip du mėnesius B. Puodžiūnas buvo kalinamas Vilniuje. 1941 m. birželio 10 d. Vilniaus miesto NKGB valdybos viršininkas G. Šarokas patvirtino kaltinamąją išvadą, kurioje B. Puodžiūnas kartu su Antanu Petkeliu ir Jonu Markūnu buvo apkaltinti kaip priklausę "kontrrevoliucinei nacionalistinei lietuvių sukilėlių organizacijai "Šaulių mirties batalionas", kurio filialas yra Vilniuje". Jo bylą nuosprendžiui priimti buvo nuspręsta siųsti į Maskvą, į SSRS MVD ypatingąjį pasitarimą, kurio kompetencijoje tuo metu buvo panašių politinių bylų galutinis sprendimas.

1941 m. birželio 22 d. prasidėjus Vokietijos ir Sovietų Sąjungos karui, B. Puodžiūno ir kitų kaltinamųjų byla Maskvos nepasiekė. Birželio 24 d. rytą  B. Puodžiūnas kartu su kitais kaliniais iš Vilniaus geležinkelio prekių stoties buvo išsiųstas į Sovietų Sąjungos gilumą. Liepos 3 d. jis atsidūrė Gorkyje (dabar – Žemutinis Naugardas, Rusija), ten liepos 9 d. buvo uždarytas į Gorkio NKVD kalėjimą Nr. 1, kur laukė teismo.

1941 m. rudenį sovietiniai saugumiečiai susiejo B. Puodžiūno bylą su Vytauto Bulvičiaus vadovaujamo Vilniaus Tautos sukilimo štabo veikla ir spalio 26 d. ją prijungė prie V. Bulvičiaus ir jo likimo draugų bylos. Taip Gorkio NKVD kalėjime atsirado 16 asmenų byla, kurioje B. Puodžiūnas buvo teisiamas kartu su V. Bulvičiumi ir jo grupe, nors faktiškai tiesioginio ryšio su ja ir neturėjo.

1941 m. lapkričio 26–28 dienomis Maskvos karinės apygardos karo tribunolas uždarame teismo posėdyje Gorkyje nuteisė B. Puodžiūną pagal Rusijos baudžiamojo kodekso 58 str. 2 d. už tai, kad jis buvo nacionalistinės kontrrevoliucinės karinės sukilėlių organizacijos narys, gaudavo ir platindavo šios organizacijos leidžiamus antisovietinius laikraščius. Jam skirta septynerių metų nelaisvės bausmė ir konfiskuotas visas asmeninis turtas – mažiausia bausmė tarp visų nuteistųjų.

1941 m. gruodžio 29 d. B. Puodžiūnas iš Gorkio buvo išgabentas į SSRS NKVD ypatingo režimo Viatlago lagerį, vėliau perkeltas į Solikamsko lagerį (Permės sr., Rusija).

Mirė 1943 m. balandžio 12 d. Solikamsko lageryje (Rusija). Palaidojimo vieta nežinoma.

B. Puodžiūno vardas įrašytas Puodžiūnų šeimos kapo antkapiniame paminkle Vilniaus Daniliškių kapinėse, kur palaidoti jo tėvai ir sesuo Stanislava.

B. Puodžiūnui pripažintas laisvės kovų dalyvio statusas (po mirties), jam suteiktas atsargos leitenanto karinis laipsnis (po mirties).

Vilniuje, Gedimino prospekte, prie pastato įrengta atminimo lenta, kurioje įrašyta ir B. Puodžiūno pavardė.

B. Puodžiūno gyvenimas ir veikla pristatoma enciklopedinio žinyno "Lietuvos kariuomenės karininkai : 1918–1953" 6-ajame tome (2006 m.).