Tėvai: Mykolas Kukta (1829–1879) ir Ona Raupelytė-Kuktienė (1832–1905) iš Klabinių (Molėtų r.) – žemdirbiai pasiturintys ūkininkai. Augo aštuonių vaikų šeimoje. Broliai ir sesuo: Jonas Kukta (1853–1903) – žemdirbys, Jokūbas Kukta – spaustuvininkas knygrišys, Mykolas Kukta (1864–?) – žemdirbys, Uršulė Kuktaitė-Vėžienė – žemdirbė, Adomas Kukta – žemdirbys ūkininkas, amatininkas siuvėjas, tremtinys, miręs tremtyje, Simonas Kukta (apie 1872 – 1943) – žemdirbys ūkininkas ir Juozapas Kukta (1873–1942) – kunigas teologas, vyskupas ir švietėjas. Sūnėnai: brolio Simono sūnus Petras Kukta-Girininkas (1919–1949) – laisvės gynėjas, partizanų būrio vadas, brolio Adomo sūnus Jonas Krizostomas Kukta SJ (1906–1993) – kunigas, vienuolis jėzuitas, brolio Mykolo sūnus Tomas Kukta (1900–1989) – kariškis, laisvės gynėjas, politinis kalinys ir tremtinys.

Vaikystėje savarankiškai išmoko skaityti, 1888 m. išvyko į Vilnių gyventi pas vyresnįjį brolį Jokūbą ir ten mokytis. Baigęs 4 pradžios mokyklos skyrius, nuo 1890 m. M. Kukta buvo Vilniaus karo apygardos štabo spaustuvės mokinys – raidžių rinkėjas. Vėliau spaustuvininko profesijos jis mokėsi ir dirbo Vilniaus gubernijos valdybos spaustuvėje.

1895 m. M. Kukta su broliais išvyko į Sankt Peterburgą (Rusija), kur jo brolis Juozapas pradėjo studijuoti dvasinėje akademijoje. Mobilizuotas į carinės Rusijos kariuomenę, M. Kukta dirbo karinėje spaustuvėje spaustuvininku.

Paleistas iš kariuomenės ir dirbdamas raidžių rinkėju ir metranpažu Sankt Peterburgo spaustuvėse, M. Kukta sutaupė pinigų ir Petro Vileišio padedamas ten įkūrė nuosavą nedidelę spaustuvę, kurioje dirbo iki 1904 m.

Po lietuviškos spaudos draudimo panaikinimo M. Kukta grįžo į Vilnių ir čia 1904 m. gruodį leidėjui P. Vileišiui padėjo atidaryti pirmąją ir didžiausią XX a. pradžioje lietuvišką "Vilniaus žinių" spaustuvę, 1904–1906 m. buvo jos vedėjas.

1906–1924 m. M. Kukta turėjo savo privačią spaustuvę Vilniuje, kurią 1906 m. gegužę atidarė brolio kunigo Juozapo padedamas. M. Kuktos spaustuvė 1906–1911 m. veikė pastate Universiteto g. 4, nuo 1911 m. gegužės – Totorių g. 20 ir buvo viena svarbiausių spaudos įmonių to laikotarpio Lietuvoje. 

1906–1915 m. joje buvo išspausdinta apie 270 lietuviškų ir lenkiškų knygų – grožinės, politinės, religinės, karinės, žemės ūkio, medicinos, gamtos mokslų literatūros, taip pat ji nuolat spausdino kelis laikraščius ir žurnalus: "Vilniaus žinios", "Lietuvis" (1906–1907 m.), "Šviesa" (1907 m.), "Viltis" (1907–1915 m.), "Dziecko" (1908 m.), "Litwa" (1908–1914 m.), "Sveikata" (1909–1915 m.), "Žemdirbys" (1909–1913 m.), "Garsas" (1909–1914 m.), "Praca" (1909 m.), "Aušra" (1911–1915 m.), "Lietuvių tauta" (1911–1914 m.), "Lud" (1912–1913 m.). 1910 m. jo spaustuvėje veikė 3 spausdinimo mašinos ir vienerios staklės, dirbo apie 15-20 darbininkų.

1907 m. lapkritį M. Kukta buvo apkaltintas antivyriausybinio turinio knygų leidyba – įtartas be cenzūros leidimo baltarusių kalba išspausdinęs Stepono Kairio žmonos Aloizos Paškievič-Ciotkos eilėraščius, jo spaustuvė buvo dviems savaitėms uždaryta. 1914 m. kovo 12 d. M. Kuktos spaustuvės darbininkai buvo surengę ekonominio pobūdžio streiką ir kelias dienas nedirbo.

Nuo 1917 m. M. Kuktos spaustuvė spausdino ir Lietuvos Tarybos oficialųjį dienraštį "Lietuvos aidas".

Signataro Petro Klimo paragintas, M. Kukta pirmasis padaugino 1918 m. vasario 16-ąją paskelbtą Lietuvos Nepriklausomybės aktą. Išspausdintas kaip atsišaukimas su visais parašais, jau vasario 19 d. jis buvo išplatintas visoje Lietuvoje. Už tai M. Kukta nukentėjo – vokiečių kareiviai nusiaubė jo spaustuvę, o jį patį kelias paras kalino areštinėje.

1918 m. gruodžio 27 d. M. Kuktos spaustuvėje buvo išleisti pirmieji 10 ir 15 skatikų vertės Lietuvos pašto ženklai (po 5 tūkst. vnt.).

1918 m. M. Kukta kartu su J. Rinkevičiumi, J. Dusevičiumi ir Justu Strazdu įkūrė knygų leidimo akcinę bendrovę "Švyturys", siekdami ją padaryti reprezentacine lietuviškų knygų leidykla. Nuo 1919 m. veikė bendrovės skyrius Kaune. "Švyturys" 1918–1928 m. išleido apie 300 pavadinimų knygų ir vadovėlių, kol neatlaikė konkurencijos ir bankrutavo.

Nuo 1918 m. M. Kuktos spaustuvė spausdino "Švyturio" bendrovės leidinius. Lenkų užgrobtame Vilniuje 1921 m. M. Kukta buvo persekiojamas dėl lietuviškos veiklos, areštuotas, todėl spaustuvę turėjo uždaryti.

1924 m. jis persikėlė į Kauną su visa spaustuvės įranga, ten 1924–1934 m. tęsė spaustuvininko veiklą iš pradžių kaip "Švyturio" bendrovės spaustuvininkas, vėliau kaip privačios spaustuvės, įsikūrusios Laisvės alėjos ir Gedimino gatvės kampe, savininkas. Kaune jis išspausdino grožinės literatūros knygų, kalendorių, spausdino kelis periodinius leidinius.

1928 m. bankrutavus "Švyturiui", jos turtą perėmė naujai įsikūrusi "Spindulio" spaustuvinė leidybos bendrovė, 1928–1929 m. M. Kukta dirbo šios bendrovės direktoriumi.

Pasitraukęs iš spaustuvininko verslo, nuo 1935 m. M. Kukta keletą metų dirbo Lietuvos žemės ūkio banko archyve. Po Antrojo pasaulinio karo jis dar buvo Kauno muzikos mokyklos raštininkas.

M. Kukta dalyvavo visuomeninėje lietuvių organizacijų veikloje. 1914 m. lapkričio 21 d. steigiamajame Lietuvių draugijos nukentėjusiems dėl karo šelpti susirinkime jis buvo išrinktas šios draugijos komiteto nariu.

Buvo vedęs, žmona Stefanija Mislyborska-Kuktienė (1878–1941) iš Gardino srities (Baltarusija). Liko našlys. Duktė Stefanija Kuktaitė-Monstavičienė (1903–1929) – teisininkė. Anūkas Liucijus Edmundas Monstavičius (1927–2008).

Mirė 1956 m. birželio 23 d. Kaune. Palaidotas Kauno Petrašiūnų kapinėse (18 kvartalas, 2 eilė, 3 kapas). Kapą ženklina betoninis liūdinčios Dievo Motinos skulptūrinis paminklas, jo postamentinėje sienutėje įmontuota metalinė portretinio bareljefo lenta su išraižytu įrašu "Prisiekusio advokato padėjėja / Stefanija Monstavičienė-Kuktaitė / 26 m. / ..." ir juodo šlifuoto akmens lentelės su iškaltais įrašais: "A+A / Martynas / Kukta / 1875.II.1–1956.VI.23", "A+A / Stefanija / Kuktienė / 1878.XII.20–1941.XI.16", "Ona- / Marija / Monstavičienė / 1940.01.26 1979.07.21" ir "Liucijus / Edmundas / Monstavičius / 1927.06.27 2008.07.24".

2005 m. Vilniuje, prie Totorių gatvės namo Nr. 20, buvo atidengta paminklinė lenta spaustuvininkui M. Kuktai su įrašu: "Šiuose namuose / Martynas Kukta, / "Vilniaus žinių" dienraščio / spaudėjas, / turėjo lietuvišką spaustuvę / (1906–1921). / Čia buvo atspausdintas / Lietuvos Tarybos nutarimas / dėl Nepriklausomos / demokratinės / valstybės atkūrimo / (1918 02 16)".