Tėvai: Juozapas Baleišis ir ? Rudokaitė-Baleišienė (?–1927) – žemdirbiai ūkininkai. Motinai mirus, augo senelių Rudokų (motinos tėvų) šeimoje.

Baigė Svėdasų pradžios mokyklą, nuo 1944 m. mokėsi Svėdasų progimnazijoje, 1949 m. baigė Svėdasų gimnaziją 1-ojoje jos abiturientų laidoje, gavo šios gimnazijos atestatą Nr. 1.

1949 m. rudenį J. Baleišis trumpai studijavo Vilniaus pedagoginiame institute fiziką, bet dėl pablogėjusios sveikatos jis turėjo laikinai palikti studijas. Grįžęs į Svėdasus, 1949–1950 m., porą mėnesių, jis dirbo Svėdasų valsčiaus liaudies švietimo skyriaus vedėju.

Mobilizuotas 1950 m. sausį, 1950–1952 m. jis atliko privalomąją karinę tarnybą sovietinėje kariuomenėje, tarnavo 16-ojoje lietuviškojoje divizijoje Vilniuje.

Demobilizuotas 1952 m. lapkritį, 1952–1953 m. J. Baleišis dirbo Debeikių (Anykščių r.) vidurinėje mokykloje mokytoju, 1953–1954 m. buvo šios mokyklos direktoriaus pavaduotojas mokymo reikalams, kol šių pareigų savo iniciatyva atsisakė. 1954–1955 m. jis dirbo Debeikių vidurinėje mokykloje mokytoju.

1955–1958 m. J. Baleišis buvo Nemunėlio Radviliškio (Biržų r.) vidurinės mokyklos mokytojas.

1957–1960 m. jis neakivaizdžiai studijavo Vilniaus pedagoginio instituto Rusų kalbos fakulteto neakivaizdiniame skyriuje, baigė tris kursus, įgijo rusų kalbos mokytojo specialybę.

Nuo 1958 m. iki gyvenimo pabaigos J. Baleišis gyveno Svėdasuose ir iki pensijos dirbo Svėdasų vidurinėje mokykloje (dabar – Svėdasų Juozo Tumo-Vaižganto gimnazija).

1958–1979 m. jis buvo Svėdasų vidurinės mokyklos rusų kalbos ir literatūros mokytojas, 1981–1986 m. dirbo šios mokyklos bendrabučio auklėtoju, kol išėjo į pensiją.

Jis buvo mokytojų meno saviveiklos ir profsąjungų veiklos organizatorius, skatino mokinių tarptautinį bendradarbiavimą, užmezgęs ryšius su mokykla Latvijoje.

Laisvalaikiu mėgo keliauti, vienas pirmųjų Svėdasuose XX a. II pusėje įsigijo nuosavą automobilį. Amžininkų prisiminimuose jis išliko kaip inteligentiškas krašto istorijos žinovas.

Susituokė apie 1958 m., žmona Birutė Girčytė-Baleišienė (g. 1929 m.) – pedagogė matematikos ir fizikos mokytoja. Vaikai: Danguolė Baleišytė, Laima Baleišytė-Šablevičienė, Linas Baleišis (g. 1966 m.) – valstybės tarnautojas, aplinkosaugos pareigūnas, ir Asta Baleišytė-Sabaliauskienė (g. 1971 m.).

Mirė 2018 m. rugpjūčio 28 d. Svėdasuose (Anykščių r.). Palaidotas Svėdasų kapinėse. Kapą ženklina juodo šlifuoto akmens paminklinė kompozicija su įkomponuota metaline saulute, iškaltas įrašas: "Baleišiai / Juozas 1927–2018".