Gimimo data pagal naująjį kalendorių – 1896 m. lapkričio 3 d.

Tėvai: Juozapas Baleišis (apie 1864 – ?) ir Pranciška Bublytė-Baleišienė (apie 1870 – ?) – valstiečiai žemdirbiai. Broliai ir seserys: Jonas Baleišis (1895–?) – žemdirbys, Augustinas Baleišis (1898–?), Juozapas Baleišis (1900–?), Kazimiera Baleišytė-Stomienė (1901–?), Antanas Baleišis (1904–1905) – mirė kūdikystėje, Pranciškus Baleišis (1906–1906) – mirė kūdikystėje ir Liudvika Baleišytė (1909–?). Dėdė (motinos brolis) Aleksandras Bublys (1872–1938) – kunigas.

1896 m. spalio 27 d. Svėdasų bažnyčioje jį pakrikštijo vikaras Teofilis Nainys, krikštatėviais buvo Feliksas Sabalys ir Anelė Sabalytė.

Pirmojo pasaulinio karo metais šeimai pasitraukus į Rusiją, augo ir baigė gimnaziją Orenburge. Po revoliucijos Rusijoje grįžo į Lietuvą.

1920 m. sausio 16 d. F. Baleišis įstojo į Karo mokyklą Kaune, ją baigė 1920 m. spalio 17 d., gavo pėstininkų leitenanto karinį laipsnį.

Paskirtas 1920 m. spalio pabaigoje, pusmetį jis tarnavo Autobatalione. Perkeltas 1921 m. gegužės 29 d., 1921–1926 m. jis tarnavo Inžinerijos batalione, buvo 3-osios pionierių kuopos jaunesnysis karininkas. Batalioną performavus į Inžinerijos pulką, jis buvo šio pulko Ūkio komandos viršininkas, nuo 1925 m. sausio 12 d. – vyresnysis leitenantas.

Nuo 1926 m. sausio 6 d. F. Baleišis tęsė karo tarnybą Technikos pulke. 1927 m. rugsėjo 3 d. jis perkeltas į Pionierių batalioną. 1929 m. vasario 9 d. baigęs Aukštųjų karininkų kursų Inžinerijos skyrių 2-ojoje laidoje, jis buvo perkeltas į II karo apygardos štabą.

Nuo 1929 m. kovo 13 d. jis tęsė tarnybą Karo butų skyriuje, nuo 1929 m. lapkričio 23 d. buvo kapitonas.

Perkeltas 1935 m. pabaigoje, 1935–1940 m. F. Baleišis tarnavo 1-ajame inžinerijos batalione, buvo 1-osios inžinerijos kuopos vadas, nuo 1936 m. rugsėjo 8 d. – majoras.

Pirmosios sovietinės okupacijos pradžioje likviduojant Lietuvos kariuomenę, 1940 m. rugsėjo 21 d. F. Baleišis buvo paskirtas į Raudonosios armijos 29-ojo šaulių teritorinio korpuso atskirąjį pionierių batalioną, rugsėjo 24 d. paskirtas šio bataliono kuopos vadu.

1941 m. birželio 14 d. F. Baleišis tarnybos vietoje Varėnos poligone buvo suimtas ir išgabentas į Norilsko lagerį (Krasnojarsko kraštas, Rusija).

1942 m. rugsėjo 5 d. Ypatingasis pasitarimas nuteisė jį 8 metus kalėti.

Nepriklausomoje Lietuvoje jis buvo apdovanotas Didžiojo Lietuvos kunigaikščio Gedimino 4-ojo laipsnio ordinu (1939 m.), Lietuvos nepriklausomybės medaliu (1928 m.).

Susituokė 1923 m. liepos 16 d. Svėdasų bažnyčioje (sutuokė Joniškio klebonas kunigas Aleksandras Bublys), žmona Eugenija Bareišytė-Baleišienė (1904–1983). Duktė Irena Baleišytė-Alantienė (1924–2010) – rašytojo Vytauto Alanto (1902–1990) žmona, publicistė, visuomenininkė, emigrantė JAV.

Mirė 1942 m. lapkričio 12 d. Norilsko lageryje (Krasnojarsko kraštas, Rusija). Palaidojimo vieta nežinoma.

F. Baleišio gyvenimas ir veikla pristatoma informacinio leidinio "Lietuvos kariuomenės karininkai 1918–1953" 2-ajame tome (2002 m.).