Tėvai: Antanas Bražionis ir Ona Snukiškytė-Bražionienė – žemdirbiai.

Mokėsi Antaduobio (Utenos r.) pradinėje mokykloje. Dar būdama paauglė išmoko austi. Vėliau dirbo ūkyje.

E. Bražionytė-Telksnienė priklausė Lietuvos katalikų jaunimo sąjungai "Pavasaris". 1931 m. ji buvo apdovanota "pavasarininkų" sąjungos diplomu už gražiai tvarkomą darželį.

Tautodailės parodose savo audinius E. Telksnienė eksponavo nuo 1959 m.

Nuo 1970 m. ji gyveno Anykščiuose. Čia įstojo į Lietuvos liaudies meno draugiją (dabar – Tautodailininkų sąjunga) ir iki gyvenimo pabaigos buvo tautodailininkė.

Atgimimo pradžioje E. Telksnienė išaudė daug tautinių drabužių, kuriuos padovanojo giminaitėms, savo ir dukters draugėms.

Buvo ištekėjusi, vyras Alfonsas Telksnys (1906–1981). Liko našlė. Duktė Milda Elena Telksnytė (g. 1938 m.) – rašytoja, publicistė.

Mirė 1998 m. rugsėjo 14 d. Latavoje (Anykščių r.). Velionės prašymu ji buvo pašarvota savo pačios austais tautiniais drabužiais. Palaidota Anykščių senosiose kapinėse šeimos kape prie vyro. Kapą ženklina paminklinis akmuo su metalinių saulučių kompozicija ir įrašu metalinėmis raidėmis: "Alfonsas / Telksnys / 1906–1981 / Eleonora / Telksnienė / 1913–1998".

E. Telksnienės gyvenimas ir veikla pristatoma biobibliografiniame žodyne "Anykščių tautodailininkai" (2024 m.).