Tėvai: Kazimieras Šlenys (1895–1965) – teisininkas, teisėjas, ir Aleksandra Šimanskytė-Šlenienė (1900–1998). Brolis Raimundas Šlenys (1932–1996) – inžinierius.

1944 m. su tėvais pasitraukė į Vakarus, 1949 m. lapkritį išvyko į JAV.

1962 m. baigė Wilsono dvimetį koledžą Čikagoje (Ilinojaus valstija), tęsė studijas ir 1965 m. Ilinojaus technologijos institute Čikagoje įgijo elektrotechnikos inžinieriaus išsilavinimą.

1965–1968 m. L. K. Šlenys dirbo bendrovėje "U. S. Steel", 1968–1972 m. – bendrovėje "Bartkus Engineering" vadybininku.

1972 m. jis gavo profesionalaus inžinieriaus kvalifikaciją Ilinojaus valstijoje.

1972–1976 m. L. K. Šlenys buvo bendrovės "Samc Engineering" vadybininkas. 1976–1982 m. jis dirbo kompanijos "Amoco Oil-Whiting" Čikagos padalinio projektų inžinieriumi.

Nuo 1982 m. jis buvo bendrovės "DS Engineering" prezidentas, kol išėjo į pensiją.

1950–1986 m. L. K. Šlenys buvo jūrų skautas. 1960 m. jis su kitais skautais įsteigė korporaciją "Gintaras" ir daug metų buvo jos pirmininkas, skautų tunto "Baltijos jūra" tuntininkas.

Jis taip pat dalyvavo JAV Lietuvių bendruomenės veikloje, 1984–1990 m. buvo Lemonto (Ilinojaus valstija) apylinkės valdybos narys, 1986–1988 m. – jos pirmininkas.

Su kitais iniciatoriais L. K. Šlenys 1990 m. Lemonte įkūrė Lietuvių dailės muziejų, yra jo tarybos narys. Jis taip pat kūrė Pasaulio lietuvių centrą Čikagoje (Ilinojaus valstija), buvo jo valdybos narys.

Jis dalyvavo Mokslo ir kūrybos simpoziumų Čikagoje veikloje.

L. K. Šlenys buvo apdovanotas Lietuvos skautų sąjungos medaliu "Už nuopelnus".

Buvo vedęs, žmona Dalia E. Lukošiūnaitė-Šlenienė (1935–2015) – dailininkė, kultūros organizatorė, visuomenininkė. Liko našlys.

Mirė 2024 m. gegužės 12 d. Lemonte (Ilinojaus valstija, JAV). Palaidotas Čikagos Šv. Kazimiero lietuvių kapinėse.