Tėvai: Juozas Žabas-Žėba (1866–1943) (antkapyje 1868–1944), kilęs iš senos kilmingos bajorų Žabų giminės, ir Liudvika Petrauskaitė-Žeibienė (1877–1967) – bežemiai valstiečiai, nuomoję 30 hektarų žemės. Augo jauniausias keturių vaikų šeimoje. Sesuo Sofija Žeibaitė-Ylienė (1907–?) – žemdirbė, broliai Antanas Žėba (1910–1990) – žemdirbys ir Petras Žieba (1912–1943) – kariškis, tremtinys. Giminaitis (senelio brolis) Stanislovas Žaba (1831–?) – kunigas.

Baigė Adomavos pradžios mokyklą. Tėvams persikėlus, užaugo Latavėnuose (Anykščių r.) baigė Anykščių vidurinę mokyklą, mokėsi Ukmergės valstybinėje gimnazijoje. Mokydamasis 1933–1935 m. dirbo braižytoju Žemės tvarkymo departamente.

Dar nebaigęs gimnazijos, 1935 m. S. Žeiba pradėjo karo tarnybą Kauno miesto ir apskrities komendantūroje, karo policijos mokykloje. Nuo 1936 m. jis buvo perkeltas į karo aviacijos mokyklą, kurią baigęs tapo II eilės karo lakūnu.

Tarnybai jis buvo paliktas puskarininkiu-liktiniu 7-oje naikintuvų eskadrilėje Kaune. Nuo 1939 m. S. Žeiba buvo perkeltas į Šiaulius, tarnavo Zoknių aviacijos įguloje, buvo 5-osios naikintuvų eskadrilės lakūnas-būrininkas, kol 1940 m. spalį, išformavus Lietuvos karo aviaciją, buvo paleistas į atsargą.

Tarnybos laikotarpiu jis atliko 1058 skrydžius ir ore praleido 333 valandas. Kaip karo lakūnas jis dalyvavo pirmajame istoriniame skrydyje 1939 m. lapkričio 1 d. iš Kauno į Lietuvos atgautą Vilnių.

1940–1944 m. S. Žeiba dirbo ką tik susikūrusioje Lietuvos geologinėje tarnyboje Vilniuje.  1940–1942 m. jis buvo technikas, vyresnysis inžinierius, 1942–1944 m. – agrogeologas, kūrė Lietuvos dirvožemių nuotrauką.

Tuo pačiu metu jis 1941 m. lankė Vilniaus universiteto geologijos kursus, o 1943 m. mokėsi Lietuvos Žemės ūkio akademijos dirvožemininkų  kursuose, kur įgijo agrogeologo kvalifikaciją. 1943 m. jis baigė ir Vilniaus suaugusiųjų gimnaziją.

1944–1949 m. S. Žeiba studijavo Vilniaus universiteto Gamtos mokslų fakultete ir pirmasis po Antrojo pasaulinio karo bei vienintelis pirmojoje laidoje, baigęs studijas, įgijo geologo išsilavinimą. Studijuodamas 1944–1945 m. jis dirbo Geologijos katedroje laborantu, 1945–1949 m. buvo vyrsnysis laborantas. Jis prižiūrėjo Geologijos katedros turtą, įgijo pirmuosius mokslinio darbo įgūdžius. 1948–1949 m. jis buvo geologijos mokslinio būrelio pirmininkas, skaitė mokslinius pranešimus studentų mokslinėse konferencijose.

1949–1960 m. jis dirbo Vilniaus universiteto Gamtos mokslų fakulteto Geologijos katedroje vyresniuoju dėstytoju, 1960–1963 m. buvo Mineralogijos katedros vyresnysis dėstytojas, nuo 1963 m. – docentas, kol 1988 m. pasitraukė iš pedagoginio darbo ir ėmėsi tik mokslinės veiklos. 

S. Žeiba dėstė daugelį geologijos kursų – paleontologijos, bendrosios ir istorinės geologijos, regioninės geologijos, facijų ir formacijų bei kitus, vadovavo studentų mokomosioms ir gamybinėms praktikoms, ne vienerius metus su studentais lankėsi mokomosiose praktikose Kryme (Ukraina).

1960 m. jis apsigynė geologijos ir mineralogijos kandidato disertaciją "Lietuvos famenio stratigrafija ir fauna", 1993 m. nostrifikuotas daktaras.  1973 m. jis rengė daktaro disertaciją, bet jos nebaigė.

Nuo 1963 m. iki gyvenimo pabaigos jis aktyviai dalyvavo Lietuvos devono ir karbono uolienų ir fosilijų moksliniuose tyrimuose. Jis surado ir nustatė 16 naujų Lietuvos devono brachiopodų rūšių, paskelbė 76 mokslinius straipsnius, parengė monografiją "Baltijos sineklizės viršutinio devono stratigrafija ir spyniniai brachiopodai" (išleista rusų kalba 2004 m.), yra kelių monografijų, tarp jų ir "Pabaltijo devonas ir karbonas" (rusų kalba, 1981 m.) bendraautorius. 

Už kūrybingą mokslinį ir pedagoginį darbą S. Žeiba buvo apdovanotas Vilniaus universiteto (1966, 1981 m.) ir tuometinės Aukštojo ir specialiojo vidurinio mokslo ministerijos (1976 m.) Garbės raštais. Jis buvo Lietuvos geologų sąjungos garbės narys.

1981–1985 m. S. Žeiba buvo Lietuvos aviacijos sporto federacijos veteranų komiteto pirmininkas, 1995–1998 m. – Lietuvos atsargos karininkų sąjungos Vilniaus miesto skyriaus pirmininkas, 1998–1999 m. – skyriaus pirmininko pavaduotojas.

1991 m. jam buvo suteiktas dimisijos jaunesniojo leitenanto laipsnis. S. Žeiba buvo apdovanotas Stepono Dariaus ir Stasio Girėno medaliu (1993 m.). 

Laisvalaikiu mėgo žvejoti, labiausiai museline meškere, pas gamino sau žūklės įrangą.

Vedė 1949 m. rugsėjo 5 d., žmona Aldona Butauskaitė-Žeibienė (g. 1926 m.) – gydytoja odontologė. Vaikai: Saulius Žeiba (1950–2017) – statybininkas, Laimutė Žeibaitė-Tomaševičienė (g. 1951 m.) – meno pedagogė, Jūratė Žeibaitė-Uogintienė (g. 1954 m.) – restauratorė.

Mirė 1999 m. gruodžio 12 d. Vilniuje. Palaidotas Vilniaus Rokantiškių kapinėse (58 sektorius, 1 eilė). Kapą ženklina tipinė aviatorių horizontali šlifuoto akmens elementų paminklinė kompozicija – du rausvi sparnai, kuriuose iškalti įrašai: "Aldona Žeibienė / 1926.04.22– / Butauskaitė / Saulius Žeiba / 1950.06.21–2017.01.03" ir "Stasys Žeiba / 1916.02.03–1999.12.13 / Karo lakūnas / Geolog. moks. / daktaras".

Vilniaus universiteto Mokslo muziejus perėmė ir saugo daugiau kaip 700 S. Žeibos knygų fondą. Jo rankraštynas perduotas šio universiteto bibliotekos Rankraščių skyriui, kuriame įsteigtas S. Žeibos asmeninis fondas (F283), bei Lietuvos geologijos muziejaus Vievyje J. Dalinkevičiaus memorialiniam kambariui-muziejui.

Vilniaus universiteto Geologijos ir mineralogijos katedros darbuotojai Gailė Žalūdienė, Eugenija Rudnickaitė ir Gediminas Motuza sudarė ir išleido prisiminimų knygą "Stasys Žeiba – karo lakūnas ir geologas" (2008 m.), kurioje yra ir Sigitos Dagienės sudaryta S. Žeibos bibliografija.