Tėvai: Ignotas Blynas (1873–1947) ir Eleonora Petrulytė-Blynienė (1883–1947). Augo 12 vaikų šeimoje. Brolis Gediminas Ignas Blynas (1917–1981) – kunigas.

1929–1933 m. mokėsi Pazūkų (Pasvalio r.) pradžios mokykloje, 1934–1941 m. baigė Panevėžio berniukų gimnaziją. 1942–1945 m. studijavo Kauno tarpdiecezinėje kunigų seminarijoje.

1945 m. balandžio 29 d. L. F. Blynas buvo įšventintas kunigu.

Nuo 1945 m. jis buvo Debeikių (Anykščių r.) parapijos vikaras, talkino klebonui Kazimierui Mikelinskui. Vėliau iki 1951 m. jis buvo Linkuvos (Pakruojo r.), Pabiržės (Biržų r.), Skapiškio (Kupiškio r.) ir Biržų bažnyčių vikaras, visur rengė nelegalias tikėjimo žinių pamokas vaikams, už tai buvo valdžios persekiojamas ir kilnojamas vis į kitą parapiją.

1951–1952 m. L. F. Blynas buvo Pakruojo Šv. Jono Krikštytojo parapijos administratorius. 1953–1956 m. jis dirbo Kauno tarpdiecezinėje kunigų seminarijoje dėstytoju, parengė ir apsigynė mokslinį darbą, buvo teologijos licenciatas.

1956–1960 m. jis buvo Debeikių (Anykščių r.) Šv. Jono Krikštytojo parapijos administratorius. Tarnaudamas Debeikiuose, L. F. Blynas tvarkė Papšių koplyčią, įvedė joje Šv. Antano atlaidus. Debeikiuose 1956–1957 m. ir 1959–1960 m., paskui Dusetose 1960–1968 m. jis globojo sergantį savo brolį kunigą G. I. Blyną.

1960–1969 m. L. F. Blynas buvo Dusetų (Zarasų r.) Švč. Trejybės parapijos klebonas, 1969–1972 m. – Rokiškio Šv. Mato parapijos klebonas ir dekanas, 1972–1985 m. – Šimonių (Kupiškio r.) Švč. Mergelės Marijos Ėmimo į dangų parapijos klebonas, po Stepono Pelešyno mirties nuo 1984 m. liepos 1984–1985 m. beveik metus administravo ir Adomynės (Kupiškio r.) Švč. Mergelės Marijos Vardo parapiją.

1985 m. išvykęs gydytis į Kauną, 1986–1996 m. L. F. Blynas buvo Kauno Šv. Antano Paduviečio bažnyčios altarista vikaras, kartu dėstė Kauno technologijos universitete. 1996–2003 m., iki gyvenimo pabaigos, jis buvo Šeduvos (Radviliškio r.) Šv. Kryžiaus Atradimo bažnyčios altarista.

L. F. Blynas pasižymėju puikiu balsu, buvo žinomas giesmininkas, giedodavo religines giesmes.

Laisvalaikiu skaitydavo, klausydavosi klasikinės muzikos koncertų.

Mirė 2002 m. kovo 26 d. Šiauliuose. Palaidotas Šeduvos bažnyčios šventoriuje prie kitų kunigų. Kapą ženklina originali paminklinė kompozicija – kalvio darbo kryžius ant lauko riedulio postamento su įmontuota šlifuoto akmens plokšte, joje iškaltas įrašas: "A+A / Kun. jubil. / Laimingas-Feliksas / Blynas / 1922.4.15–2002.03.26 / Dievas yra Meilė / 1Jon. 4.16".