Tėvai: Juozapas Staškevičius (1909–2004) ir Eugenija Brokaitytė-Staškevičienė (1914–?) – amatininkai prekybininkai. Augo keturių vaikų šeimoje, buvo trečiasis. Broliai ir sesuo: Jonas Staškevičius (1936–2023) – kunigas prelatas, teologas, Valentina Staškevičiūtė-Baliūnienė (g. 1938 m.) ir Vytautas Staškevičius (g. 1945 m.) – kunigas. Dėdė (tėvo brolis) Jonas Staškevičius (1910–1955) – kunigas, politinis kalinys, tikėjimo kankinys.

1944 m. tėvams pasitraukus į Vakarus, augo Vokietijoje, vėliau Kanadoje.

1969 m. R. Staškevičius baigė Toronto (Ontario provincija) universiteto Medicinos fakultetą, įgijo bendrosios praktikos gydytojo išsilavinimą.

1969–1970 m. jis buvo Toronto St. Michaelio ligoninės gydytojas internas.

Nuo 1978 m. iki šiol R. Staškevičius yra privatus bendrosios praktikos (šeimos gydytojas), gyvena ir dirba Ajakse (Ajax, Ontario provincija).

Nuo 1996 m. jis yra šeimos gydytojų organizacijos "Coalition of Family Physicians" narys ir valdybos narys, atstovaujantis Ajakso šeimos gydytojams, buvo valdybos pirmininkas. Jis taip pat yra Ontario gydytojų asociacijos valdybos narys.