Tėvai – valstiečiai žemdirbiai.

Antrojo pasaulinio karo metais A. Aksomitas dirbo Tauragnuose (Utenos r.) maitinimo įmonėje techniniu darbuotoju, 1944–1946 m. buvo Utenos rajono kaimų pradinių mokyklų mokytojas.

1946–1951 m. jis baigė studijas Kauno politechnikos instituto Statybos fakultete, įgijo inžinieriaus statybininko išsilavinimą.

1952–1956 m. A. Aksomitas dirbo Šiaulių statybos-montavimo kontoroje vyresniuoju inžinieriumi, 1956–1958 m. buvo tos kontoros, reorganizuotos į Šiaulių statybos trestą, vyriausiasis inžinierius, 1958–1960 m. – Šiaulių statybos tresto valdytojas.

Nuo 1960 m. spalio 14 d. iki 1982 m. birželio 5 d. A. Aksomitas dirbo Lietuvos SSR Ministrų Tarybos Valstybinio statybos reikalų komiteto (1960–1963 m. – Valstybinio statybos ir architektūros reikalų komiteto) pirmininku ir buvo ilgiausiai šias pareigas ėjęs valstybės pareigūnas. Valstybinis statybos komitetas, Lietuvoje veikęs 1944–1988 m., sprendė Lietuvos miestų ir kaimo gyvenviečių planavimo, statybos projektavimo, statybų industrijos plėtros ir kitus statybų politikos klausimus, jis techniškai ir ekonomiškai pagrindė Lietuvos statybų industrializavimo programą.

A. Aksomito iniciatyva buvo nutrauktos statybos Lietuvos vienkiemiuose, plečiamos centrinės kolūkių gyvenvietės. Toks jo sprendimas sulaukė prieštaringų vertinimų.

A. Aksomitas buvo pirmosios Anykščių kraštiečių "Žemiečių šventės", vykusios 1972 m., dalyvis, inicijavęs šios šventės idėją pastatyti Anykščiuose naujus kultūros rūmus ir šį sumanymą įgyvendinęs iki 1977 m.   

1963–1985 m. jis nuolat buvo renkamas Lietuvos SSR Aukščiausiosios tarybos deputatu, nuo 1961 m. buvo kandidatas į LKP Centro komiteto narius.

A. Aksomitui buvo suteiktas Lietuvos SSR nusipelniusio statybininko garbės vardas (1971 m.), jis buvo apdovanotas "Garbės ženklo" ordinu (apie 1971 m.) ir medaliais.

Nepriklausomoje Lietuvoje jam buvo skirta valstybinė pensija.

Buvo vedęs, žmona Teklė Aksomitienė (1923–2014). Duktė Laisvė Aksomitaitė-Dembinskienė – gydytoja psichiatrė, vadovė.

Mirė 2013 m. gruodžio 10 d. Vilniuje. Palaidotas Vilniaus Liepynės kapinėse (8 sektorius, 33 eilė, 5 kapas). Kapą ženklina kuklus rausvo akmens paminklas su iškaltu įrašu: "Aksomitai / Antanas 1921–2013 / Teklė / 1923–2014".