Tėvai: Motiejus Paurys (1856–1937) – ūkininkas, bažnyčios varpininkas, ir Emilija Girčytė-Paurienė (1858–1932) iš Morkūnų kaimo. Augo aštuonių vaikų šeimoje, buvo vyriausias. Broliai ir seserys: Bronislovas Paurys (1888 – apie 1916) – dingo Rusijoje karo metais, Petras Paurys (1890–1947) – žemdirbys ūkininkas, Jonas Paurys (1896 – apie 1917) – dingo Rusijoje revoliucijos laikotarpiu, Rožė Paurytė-Tijūnienė (1902–1975) – gydytoja odontologė, emigrantė JAV. Dar du šeimoje gimę vaikai mirė vaikystėje.

Mokėsi Antazavės pradžios mokykloje, 1903 m. baigė Mintaujos (dabar – Jelgava, Latvija) gimnaziją. 1904–1909 m. studijavo Kauno Žemaičių kunigų seminarijoje.

1909 m. gegužės 29 d. A. Paurys buvo įšventintas kunigu.

1909–1915 m. jis tarnavo Pagirių (Ukmergės r.) parapijoje vikaru.

1915–1929 m. A. Paurys gyveno ir tarnavo Miežiškiuose (Panevėžio r.), kur pasižymėjo kaip gabus organizatorius, gebėjęs suburti bendruomenę reikšmingiems darbams. Ten jis buvo paskirtas kaip kunigas filialistas ir kūrė naują parapiją, 1921–1926 m. buvo bažnyčios kuratas, 1926–1929 m. – pirmasis Miežiškių klebonas.

1920 m. jo ir bažnyčios komiteto narių iniciatyva bei pastangomis buvo atnaujinta ir 1921 m. užbaigta naujos mūrinės Švč. Mergelės Marijos bažnyčios statyba, kuri buvo nutrūkusi Pirmojo pasaulinio karo metais. Apie 1921 m. jis pastatė ir Miežiškių kleboniją bei ūkinius pastatus, o 1924 m., panaudodamas senosios Miežiškių bažnyčios medžiagas, buvusios senosios bažnyčios šventoriaus ir kapinių vietoje pastatė parapijos namą su sale, prižiūrėjo 10 ha parapijos ūkį. Dirbdamas parapijoje, A. Paurys ruošė vaikus pirmiesiems šventiesiems Sakramentams, lankydavosi parapijos mokyklose, globojo Miežiškiuose susibūrusius pavasarininkų organizacijos narius, įkūrė beturčių globos draugiją,

Nuo 1919 m. Miežiškiuose jis aktyviai įsijungė į kultūrinę ir visuomeninę parapijos veiklą, subūrė katalikiškas ir labdaringas organizacijas, 1925 ir 1928–1929 m. buvo išrinktas Miežiškių valsčiaus tarybos nariu. Kunigas rūpinosi "Angelo Sargo" (angelaičių), Blaivybės, Katalikų veikimo centro Miežiškių skyriaus, pranciškonų tretininkų, Švč. Sakramento brolijos, Krikščioniškojo mokslo, ūkininkų ir Moterų draugijų narių veikla.

A. Paurys buvo išrinktas Panevėžio apskrities miškų komisijos nariu (1924 m.), buvo ilgametis Tėviškės pagražinimo komiteto Panevėžio skyriaus valdybos narys. Kaip Panevėžio ūkininkų kooperacijos narys jis prisidėjo ir prie Miežiškių pieninės statybos (1925 m.), drauge su Miežiškių valsčiaus taryba pradėjo organizuoti miestelio trijų komplektų mokyklos statybą, pats jai paaukojo 5 tūkst. litų.

1929–1950 m. A. Paurys buvo Užpalių (Utenos r.) Švč. Trejybės parapijos administratorius.

1930 m. Užpaliuose jis įsteigė senelių ir vargšų prieglaudą, toliau rūpinosi parapijiečių sielovada, šelpė katalikiškas organizacijas, ypač pavasarininkus. 1931 m. jis sušaukė steigiamąjį Šv. Vincento Pauliečio draugijos susirinkimą ir pavedė šiai organizacijai rūpintis prieglaudos išlaikymu. Užpaliuose kunigas nuolat remontavo ir puošė bažnyčią, pastatė kunigų altaristų namą, prižiūrėjo pavyzdingą parapijos ūkį. 1930 m. A. Paurio iniciatyva buvo sutvarkytas, aptvertas ir paženklintas prie Užpalių esantis Krokulės šaltinis. Jis buvo Užpalių tretininkų kongregacijos vadovas. 1930 m. pavasarį Užpaliuose įkūrus Vytauto Didžiojo komiteto skyrių, jis buvo išrinktas jo valdybos nariu, vicepirmininku.

Užpaliuose tarnavusiam A. Pauriui buvo suteiktas monsinjoro titulas.

Perkeltas 1950 m. spalio 26 d., 1950–1956 m. jis gyveno Svėdasų (Anykščių r.) Šv. arkangelo Mykolo parapijoje kaip altarista, talkino klebonui Antanui Survilai ir buvo jo išlaikomas.

Iškeltas 1956 m. balandžio 28 d., 1956–1968 m. A. Paurys gyveno Skapiškio (Kupiškio r.) Šv. Hiacinto (Jackaus) parapijos altarijoje.

Mirė 1968 m. balandžio 12 d. Skapiškyje (Kupiškio r.). Palaidotas Skapiškio bažnyčios šventoriuje. Kapą ženklina juodo šlifuoto akmens obeliskas su portretine nuotrauka ir iškaltais įrašais: "A A / Kun. Antanas / Paurys / 1885-X-5 1968-IV-11" ir "Viešpatie, čia mano poilsis / ir suraminimas".

Miežiškių bažnyčioje yra kun. A. Paurio memorialinis biustas.

A. Paurio gyvenimas ir veikla pristatyti Vytauto Indrašiaus kunigų biografijų rinkinyje "Doros, šviesos ir tiesos apaštalai" (2003 m.).