Tėvai: Dominykas Kunčinas ir Vincenta Vasiliauskaitė-Kunčinienė. Brolis Vladas Kunčinas (1917–1990) – pedagogas, kariškis.

1923 m. kartu su tėvais atvyko į Lietuvą, apsigyveno Gruzdžiuose (Šiaulių r.), mokėsi Gruzdžių pradžios mokykloje. Nuo 1925 m. augo Šiauliuose, mokėsi Šiaulių gimnazijoje. 1932 m. baigė Šiaulių mokytojų seminariją, įgijo pradžios mokyklos mokytojo specialybę.

1932–1934 m. S. Kunčinas dirbo mokytoju pradžios mokyklose – iš pradžių Trakų apskrityje, Mijaugonyse (dab. Elektrėnų sav.), paskui Gruzdžiuose (Šiaulių r.).

1934 m. rugsėjo 18 d. jis buvo mobilizuotas į Lietuvos kariuomenę ir Šiaulių komendantūros pasiųstas mokytis į Karo mokyklą Kaune, kurią baigė 1935 m. rugsėjo 15 d. X aspirantų laidoje. S. Kunčinui buvo suteiktas atsargos jaunesniojo leitenanto karinis laipsnis ir jis iškart buvo išleistas į pėstininkų karininkų atsargą.

Nuo 1935 m. jis buvo Lietuvos šaulių sąjungos narys.

1935–1936 m. S. Kunčinas dirbo Barankiškių (Zarasų r.) pradžios mokyklos mokytoju. 1936 m. jis baigė "Jaunosios Lietuvos" sąjungos organizuotus kūno kultūros kursus, nuo 1937 m. rugsėjo 1 d. iki 1939 m. gruodžio 1 d. dirbo mokytoju Papilės (Akmenės r.) Simono Daukanto pradžios mokykloje. 1938 m. jis buvo mobilizuotas mokymams ir atliko karines pratybas 8-ajame Kauno Kunigaikščio Vaidoto pėstininkų pulke, buvo būrio vadas.

1939 m. gruodį jis persikėlė mokytojauti į Vilnių. Ten dirbdamas, 1942 m. S. Kunčinas baigė Vilniaus pedagoginį institutą, įgijo fizikos ir matematikos mokytojo išsilavinimą.

1942–1995 m. S. Kunčinas gyveno Anykščiuose.

1942–1973 m., iki pensijos, jis dirbo Anykščių gimnazijoje, Anykščių vidurinėje mokykloje, Anykščių Jono Biliūno vidurinėje mokykloje fizikos ir matematikos mokytoju. Jis buvo principingas, reiklus, savo dėstomą dalyką gerai išmanęs pedagogas. Šioje mokykloje jis išleido septynias savo auklėtinių abiturientų laidas (1949, 1953, 1957, 1958, 1960, 1964 ir 1969 m.).

S. Kunčinas daug metų buvo renkamas Anykščių rajkoopsąjungos revizijos komisijos pirmininku, buvo Anykščių matematikos mokytojų metodinio ratelio pirmininkas.

Nuo 1995 m. iki gyvenimo pabaigos senatvę jis praleido pas sūnų Kaune.

S. Kunčinas buvo apdovanotas Didžiojo Lietuvos kunigaikščio Gedimino ordino 3-ojo laipsnio medaliu (1935 m.), jam buvo suteiktas Lietuvos SSR nusipelniusio mokytojo garbės vardas (1960 m.), jis buvo apdovanotas "Darbo veterano" medaliu (1977 m.).

Laisvalaikiu mėgo dirbti sode, prižiūrėti sodybą.

Susituokė 1940 m. rugpjūčio 5 d. Anykščių bažnyčioje (santuoką palaimino klebonas Juozapas Čepėnas), žmona Domicelė Kazlauskaitė-Kunčinienė (1913–1995) – pedagogė pradinių klasių mokytoja. Liko našlys. Sūnus Gediminas Kunčinas (g. 1942 m.) – inžinierius statybininkas.

Mirė 1999 m. birželio 13 d. Kaune. Palaidotas Anykščių senosiose kapinėse šeimos kape. Kapą ženklina rausvo akmens paminklas-stela su iškaltu įrašu: "Stasys / Domicelė / Kunčinai / Antanas ir Ona / Kazlauskai / Matas ir Julė / Šumilai".