Tėvas Zigmas Gėgžna – žemdirbys ūkininkas, kilęs iš bajorų Goštautų giminės. Sesuo Pranciška Gėgžnaitė-Kuodienė – mokytoja, brolis Jurgis Gėgžna (1894–1935) – Lietuvos kariuomenės savanoris, kariškis, Vyties Kryžiaus ordininkas, pedagogas.

1908–1914 m. studijavo Kauno kunigų seminarijoje.

1914 m. rugsėjo 21 d. J. Gėgžna buvo įšventintas kunigu.

Atvykęs 1914 m. rudenį, 1914–1916 m. jis tarnavo Kurklių (Anykščių r.) Šv. Jurgio parapijoje vikaru, talkino klebonui Jonui Gintilai. Prelato Stanislovo Kiškio žiniomis, Kurklių vikaras J. Gėgžna 1915 m. išgelbėjo rusų gabenamus išlydyti Kavarsko bažnyčios varpus, paslėpdamas juos viename kape Kurklių kapinėse.

Perkeltas 1916 m. vasarį, 1916–1917 m. jis buvo vikaras Krakėse (Kėdainių r.), 1917–1920 m. – Viduklės (Raseinių r.) vikaras, kur talkino klebonui Antanui Jančiauskui, perėmęs ir sąžiningai tvarkęs daugumą jo darbų.

Viduklėje jis pirmasis pradėjo sakyti pamokslus vien tik lietuviškai. Jis pirmąkart Viduklėje ėmėsi iniciatyvos sutvarkyti parapijos kapinės, sunaikino senus sugriuvusius kryžius, pradėjo tvarkyti bažnyčios prieigas.

1918 m. susikūrus Nepriklausomai Lietuvos Respublikai, J. Gėgžna subūrė pirmuosius tvarką palaikiusius vyrus ir 1918 m. pabaigoje buvo išrinktas pirmuoju Viduklės valsčiaus viršaičiu, šias pareigas ėjo iki 1920 m. pradžios.

Jis pasižymėjo kaip malonus, bet griežtas ir reiklus valdžios žmogus, neleido bermontininkams išsigabenti iš Viduklės prisiplėšto turto. 1919 m. kovo 1 d. kaip Viduklės valsčiaus atstovas jis dalyvavo Raseinių apskrities seimelio suvažiavime. 1920 m. kaip Viduklės valsčiaus tarybos pirmininkas jis pasirašė sprendimą uždaryti visas tris Viduklės smukles.

1920–1930 m. jis tarnavo vikaru Tytuvėnuose (Kelmės r.), kur persikėlė kartu su klebonu A. Jančiausku ir toliau jam talkino.

1930 m. J. Gėgžna buvo paskirtas Žeimių (Jonavos r.) Švč. Mergelės Marijos Gimimo parapijos klebonu ir tarnavo šioje parapijoje 1930–1950 m., iki gyvenimo pabaigos. Jis užrašė ir paliko prisiminimus apie 1939–1945 m. – Antrojo pasaulinio karo ir pokario įvykius Žeimių parapijoje. 1947 m. jis iškilmingai palaidojo architektą ir bažnyčių statytoją Vaclovą Michnevičių (1866–1947), ištyręs ir įsitikinęs jo nuopelnais.

1930–1932 m. jis buvo Žeimių vicedekanas, 1932–1950 m. – dekanas.

Amžininkų prisiminimuose J. Gėgžna išliko kaip darbštus ir drausmingas kunigas, mėgęs fizinius darbus.

Mirė 1950 m. rugpjūčio 25 d. Žeimiuose (Jonavos r.).