1960 m. baigė Šimonių (Kupiškio r.) vidurinę mokyklą.

B. Palionis dirbo medicinos felčeriu, kartu studijuodamas Kauno medicinos institute. 1973 m. baigė studijas, įgijo vidaus ligų gydytojo išsilavinimą.

1977–1980 m. B. Palionis dirbo Anykščių rajono centrinės ligoninės vidaus ligų gydytoju, buvo Anykščių poliklinikos vedėjas.

1980–1993 m. jis buvo Svėdasų (Anykščių r.) apylinkinės ligoninės gydytojas terapeutas, šios ligoninės vyriausiasis gydytojas. Jo iniciatyva iki 1988 m. buvo suremontuota Svėdasų ligoninė ir ambulatorija, o jos kolektyve buvo priimtas "sausas įstatymas", vėliau paplitęs ir kitose Anykščių rajono gydymo įstaigose.

1993–1997 m. jis vėl buvo  Anykščių rajono centrinės ligoninės gydytojas terapeutas.

1997–2008 m. B. Palionis buvo viešosios įstaigos Anykščių rajono savivaldybės pirminės sveikatos priežiūros centro Anykščių poliklinikos vedėjas, apylinkės gydytojas terapeutas. Jis taip pat buvo Anykščių rajono medicininės komisijos pirmininkas.

2008–2014 m. jis buvo Anykščių pirminės sveikatos priežiūros centro Anykščių suaugusiųjų skyriaus bendrosios praktikos gydytojas, apylinkės gydytojas terapeutas, šeimos gydytojas, kol išėjo į pensiją.

Jis buvo Lietuvos gydytojų sąjungos narys, Tėvynės Sąjungos (Lietuvos konservatorių) narys, šios partijos Anykščių rajono skyriaus pirmininko (Sauliaus Nefo) pavaduotojas.

B. Palionis buvo apdovanotas Lietuvos Respublikos Sveikatos apsaugos ministro padėka (2014 m.).

Amžininkų prisiminimuose išliko kaip pagarbus, santūrus ir kantrus gydytojas. Laisvalaikiu mėgo skaityti grožinę literatūrą, poeziją.

Buvo vedęs, žmona Stasė Pečiulytė-Palionienė. Vaikai: Valdas Palionis (g. 1974 m.) – policijos pareigūnas, Eglė Palionytė.

Mirė 2014 m. lapkričio 17 d. Anykščiuose. Palaidotas Anykščių naujosiose kapinėse. Kapą ženklina paminklinė kompozicija – vertikali riedulio atplaiša su dviem ant žemės paguldytais šlifuoto akmens sparnais, dešiniajame įrašas metalinėmis raidėmis: "Bronislavas / Palionis / 1941–2014".