Baigė 7 klases Linkuvos (Pakruojo r.) gimnazijoje. 1926–1932 m. studijavo Kauno kunigų seminarijoje, kartu baigė studijas ir Vytauto Didžiojo universiteto Teologijos-filosofijos fakultete, įgijo teologinį išsilavinimą.

1932 m. gegužės 21 d. jis buvo įšventintas kunigu.

Paskirtas 1932 m. birželio 15 d., tą vasarą, birželio–rugpjūčio mėnesiais, J. Kazėnas tarnavo Anykščiuose vikaru kooperatoriumi, talkino klebonui Juozapui Norvilai. Gavęs vyskupo leidimą tęsti studijas, 1932 m. rugsėjo pradžioje jis išvyko į Kauną, 1932–1933 m. gyveno pranciškonų vienuolyne ir baigė specialųjį kursą teologijos licenciatui gauti, parengė ir apgynė darbą "Maironis – teologas monalistas". Tuo metu sunkiai susirgęs džiova, 1933–1934 m. jis toliau gyveno ir gydėsi Kaune. 

1934 m. vasarą J. Kazėnas kaip sunkus ligonis  apsigyveno Šv. Kotrynos seserų kongregacijoje Karmėlavoje (Kauno r.) ir 1934–1938 m. dėstė tikybą šios vienuolijos išlaikomoje Karmėlavos mergaičių žemės ūkio mokykloje.

Perkeltas 1938 m. gruodžio 3 d., 1938–1940 m. jis buvo Šv. Vincento Pauliečio invalidų namų vedėjas Strėvininkuose (Kaišiadorių r.). 1941 m. kovo 13 d. J. Kazėnas buvo grąžintas į pastoracinį darbą ir paskirtas Daujėnų (Pasvalio r.) parapijos vikaru, šias pareigas ėjo keturis mėnesius. Vokiečių okupacijos pradžioje 1941 m. liepos 12 d. jis grįžo į Strėvininkus ir 1941–1944 m. toliau ėjo Invalidų namų vedėjo pareigas, kol šie namai veikė.

1944–1945 m. J. Kazėnas tarnavo Paštuvos (Kauno r.) parapijoje, kol 1945 m. liepos 25 d. buvo paskirtas vikaru į Žiobiškį (Rokiškio r.), kur talkino klebonui Povilui Paškevičiui. 1946 m. rugsėjo 5 d. jis buvo deleguotas Ragelių (Rokiškio r.) parapijos administratoriumi, kai ten tarnavęs kunigas Antanas Riauba buvo suimtas ir įkalintas, ir kelis mėnesius ėjo šias pareigas, bet dėl silpnos sveikatos pats jų atsisakė.

Perkeltas 1947 m. sausio 29 d., J. Kazėnas pusmetį tarnavo vikaru Užpaliuose (Utenos r.), nuo 1947 m. liepos 8 d. perkeltas į Šimonis (Kupiškio r.) ir 1947–1950 m. buvo Šimonių parapijos altarista, 1949 m. kiek laiko ėjo ir šios parapijos administratoriaus pareigas. 1950 m. kovo 13 d. jis perkeltas į Krekenavą (Panevėžio r.) ir liko šios parapijos altarista iki gyvenimo pabaigos.

Išliko jo rankraštinis darbas "Švč. Jėzaus Širdies birželio mėnesio pamokslėliai".

Amžininkų prisiminimuose J. Kazėnas išliko kaip gilaus proto ir iškalbingas dvasininkas, kuriam pritrūko sveikatos pašaukimui įgyvendinti.

Mirė 1951 m. rugpjūčio 27 d. Krekenavoje (Panevėžio r.). Palaidotas Krekenavos bažnyčios šventoriuje šalia kitų kunigų po senu, XIX a. antrosios pusės geležiniu kryžiumi. Kapavietę dengia juodo šlifuoto akmens plokšte su iškiliu kryžiaus bareljefu ir iškaltu įrašu: "A A / Kunigas / Jonas Kazėnas / 1906.II.19–1951.VIII.27 / Liūdi giminės".