Tėvai: Juozas Vilkickas (1880 – po 1958) – žemdirbys, 1948–1957 m. tremtinys Krasnojarsko krašte (Rusija), ir Anelė Vilkickienė (1890 – po 1958) –  žemdirbė, 1948–1957 m. tremtinė Krasnojarsko krašte (Rusija). Broliai ir sesuo: Vladas Vilkickas (1924–1992) – laisvės gynėjas, partizanas Vėjas, 1948–1957 m. tremtinys Krasnojarsko krašte (Rusija), elektrikas, Juozas Vilkickas (g. 1930 m.) – 1948–1957 m. tremtinys Krasnojarsko krašte (Rusija), miškininkas, Aldona Vilkickaitė-Dičiuvienė (g. 1932 m.) – darbininkė.

1930–1934 m. baigė Juškonių pradžios mokyklą. 1938–1940 m. mokėsi Veprių (Ukmergės r.) žemės ūkio mokykloje, 1941–1943 m. – Vilniaus vidurinėje sodininkystės mokykloje.

Po Antrojo pasaulinio karo 1944–1947 m. K. Vilkickas buvo Lietuvos laisvės kovų dalyvis. 1944 m. rudenį kaip Žaliosios rinktinės partizanas jis davė laisvės gynėjo priesaiką Burbiškio miške, bet 1944 m. gruodį, sovietinei kariuomenei išsklaidžius Žaliąją rinktinę, liko gyventi namuose. 1945–1947 m. jis buvo Tarzano partizanų būrio rėmėjas.

1947 m. rugpjūčio 13 d. jis buvo suimtas, kalintas Utenoje, Švenčionyse ir Vilniuje. 1947 m. lapkričio 29 d. Ypatingasis pasitarimas nuteisė jį septynerius metus kalėti. 1948 m. kovo 3 d. jis buvo išvežtas iš Vilniaus į Maskvą (Rusija), nuo 1948 m. balandžio 14 d. kalintas Vožajolio lageryje (Ustvymlage, Železnodorožno r., Komija, Rusija). 1949 m. gruodį jis buvo pervežtas į Pesčianlagą Karagandoje (Karagandos sr., Kazachstanas), nuo 1952 m. gegužės 3 d. kalinamas Južkuzbaslage (Novokuzneckas, Kemerovo sritis, Rusija), 1954 m. pavasarį trumpai – Novosibirsko ir Krasnojarsko (Rusija) kalėjimuose.

1954 m. gegužės 11 d. paleistas iš kalinimo vietos, K. Vilkickas gyveno tremties sąlygomis Didžiajame Ungute (Manos r., Krasnojarsko kr., Rusija) pas ten ištremtus tėvus. 1957  m. lapkričio 5 d. paleistas iš tremties, 1957–1959 m. jis gyveno Krasnojarske, 1959 m. kovo 29 d. grįžo į Lietuvą.

1959–1972 m. K. Vilkickas gyveno Dūkšte (Ignalinos r.) ir 1959–1971 m. dirbo Dūkšto vaismedžių medelyne skyriaus vedėju.

1961–1965 m. jis neakivaizdžiai baigė Buivydiškių (Vilniaus r.) žemės ūkio technikumą, įgijo agronomo specialybę.

Nuo 1972 m. iki gyvenimo pabaigos K. Vilkickas gyveno Utenoje. Keliolika metų jis dirbo kolūkyje brigadininku, vėliau bitininkavo, buvo privataus bityno savininkas.

Kaip Vytauto apygardos partizanų rėmėjui jam buvo suteiktas pasipriešinimo okupacijai (rezistencijos) laisvės kovų dalyvio statusas (2012 m.).

K. Vilkickas sudarė ir išleido savo žmonos prisiminimų ir kūrybos rinkinį "Mušėjaus vaivorykštė" (2010 m.), gimtojo Juškonių kaimo kraštotyros rinkinį "Juškonys (Anykščių raj.)" (2012 m.).

Laisvalaikiu bitininkavo.

Vedė iki 1958 m. tremtyje, žmona Elena Vareneckaitė-Vilkickienė (1933–2009) – 1948–1958 m. tremtinė, tautodailininkė tapytoja ir literatė. Liko našlys. Dukterys: Audronė Vilkickaitė-Augustinienė (g. 1964 m.) – pedagogė lietuvių kalbos mokytoja, ir Žibutė Vilkickaitė (1966–2015).

Mirė 2014 m. vasario 8 d. Utenoje. Palaidotas Utenos naujosiose kapinėse (18 kvartalas, 284 kapavietė). Kapą ženklina pilko šlifuoto akmens paminklas-stela su įrašu metalinėmis raidėmis: "Vilkickai / Elena 1933–2009 / Kamilius 1922–2014 / Žibutė 1966–2015".