Tėvas Adomas Narbutas – dvarininkas bajoras. Brolis Mauricijus Silvestras Narbutas (1840–1895) – kunigas teologas, švietėjas.

Studijavo Žitomiro (Ukraina) kunigų seminarijoje, 1849–1850 m. tęsė studijas Žemaičių vyskupijos kunigų seminarijoje Varniuose (Telšių r.), bet 1850 m. birželio 22 d. iš jos išstojo, nepajėgdamas susimokėti už mokslą.

Baigęs studijas ir įšventintas kunigu, tarnavo Žemaičių vyskupijos parapijose vikaru.

1876–1887 m. E. Narbutas buvo Kurklių (Anykščių r.) Šv. Jurgio parapijos klebonas. Kurkliuose jis ugdė vikarus: 1876–1878 m. – Antaną Barkauską, 1883 m. – Jeronimą Sipavičių, 1885–1887 m. – Pranciškų Kazlauską.

Perkeltas 1887 m. pavasarį, nuo 1887 m. iki gyvenimo pabaigos E. Narbutas gyveno ir tarnavo Kaune, visą laiką minimas kaip Kauno mansionierius (altarista). 1890–1891 m. jis buvo laikinasis Kauno klebonas tuo metu, kai šias pareigas ėjęs jo brolis Mauricijus Narbutas carinės Rusijos valdžios uždarytas į Kretingos vienuolyną.

Mirus M. Narbutui, 1895–1896 m. E. Narbutas buvo Kauno Šv. Gertrūdos parapijos klebonas, paskui 1896–1900 m., iki gyvenimo pabaigos, liko šios parapijos altarista.

Mirė 1900 m. balandžio 30 d. Kaune. Buvo palaidotas Kauno miesto senosiose kapinėse. 1959 m. kapines likviduojant, jo ir kitų ten palaidotų kunigų kapai buvo perkelti į Kauno Veršvų kapines (1 kvartalas, 137 kapas) ir perlaidoti viename bendrame kape, kurį ženklina akmeninių paminklų grupė. Viename iš paminklų balto marmuro lentelėje iškalta ir kunigo Edvardo (klaidingas vardas) Norbuto, mirusio 1900 metais, pavardė.