Tėvai: Juozapas Baniūnas (1875–1960) iš Jokūbėliškio ir Anelė Tylaitė-Baniūnienė (1879–1919) iš Vikonių – valstiečiai žemdirbiai. Sesuo ir broliai: Julijona Baniūnaitė (1905–1905) – mirė kūdikystėje, Kazimieras Baniūnas (1906–1966) – valstietis žemdirbys, Jonas Baniūnas (1909–1980) – valstietis žemdirbys, Antanas Baniūnas (1910–1998) – žemdirbys ir Juozapas Baniūnas (1914–1977) – žemdirbys.

Tėvams apie 1913 m. perskėlus, nuo kūdikystės užaugo Leliūnuose (Anykščių r.). Motinai mirus, o tėvui sukūrus naują šeimą, vaikus užaugino pamotė Rozalija Matuliauskaitė-Baniūnienė (1891–1950) – žemdirbė, kartu augo naujoje šeimoje gimę brolis Alfonsas Banūnas (1923–2007) – pedagogas ir seserys Ona Baniūnaitė-Skardžiuvienė (1924–2017) – žemdirbė, Rozalija Baniūnaitė (1926–1945) – mirė jaunystėje ir Anastazija Baniūnaitė (1928–1948) – mirė jaunystėje.

1930 m. baigė Anykščių vidurinę mokyklą, 1937 m. – Kretingos pranciškonų kolegiją. 1937–1940 m. studijavo teologiją Colleviti ir Arezzo (Italija) kunigų seminarijose.

1940 m. M. Baniūnas buvo įšventintas kunigu.

Jis tęsė mokslą ir 1941 m. baigė Florencijos (Italija) pranciškonų kunigų seminariją, davė vienuolio įžadus, nuo to laiko – tėvas Petras Baniūnas OFM.

Antrojo pasaulinio karo metais tėvas P. Baniūnas dirbo įvairiose italų parapijose. 1946 m. jis išvyko į JAV, rūpinosi lietuvių pabėgėlių Vokietijoje šelpimu bei jų atvykimu į Ameriką.

1947–1949 m. tėvas P. Baniūnas ėjo Gryno (Green, Meino valstija) pranciškonų vienuolyno ekonomo pareigas, nuo 1949 m. buvo šio vienuolyno viršininkas.

Jis išrūpino vienuoliams pranciškonams leidimą kurtis ir Toronte (Kanada), pats persikėlė į Kanadą, kiek laiko ėjo pirmojo Kanadoje Šv. Kotrynos (St. Catharines) miestelio pranciškonų vienuolyno viršininko pareigas.

1952 m. Kanados lietuvių kunigų suvažiavime tėvas P. Baniūnas buvo išrinktas provincijos valdybos iždininku. 1953 m. jis kartu su kitais bendraminčiais organizavo lietuvių katalikų Prisikėlimo parapiją Kanadoje. 1959 m. susikūrus Kanados lietuvių bendruomenei, jis buvo išrinktas jos krašto tarybos nariu.

Grįžęs į JAV, tėvas P. Baniūnas tris dešimtmečius gyveno Brukline (Brooklyn, Niujorko valstija), buvo laikraščio "Darbininkas" redakcijos administratorius, 1972–1974 m. prisidėjo prie Kultūros centro "Židinys" statybos.

1995 m. tėvas P. Baniūnas grįžo į Lietuvą ir senatvę praleido Kretingos Viešpaties Apreiškimo Švč. Mergelei Marijai bernardinų vienuolyne. 1995 m. jis dalyvavo iškilmėse ir pasveikino savo buvusią mokyklą – dabar Anykščių Jono Biliūno gimnaziją – jos 75-mečio proga.

Mirė 2003 m. kovo 20 d. Kretingoje. Palaidotas Kretingos kapinėse šalia kitų brolių pranciškonų. Kapą ženklina metalinis ažūrinis kryžius su įtaisyta metaline lentele, kurioje iškaltas įrašas: "Pranciškonas / T. Petras Baniūnas / O.F.M. / 1912–2003".