Tėvai: Juozas Liogė (1930–2013) iš Anykščių – darbininkas ir Stanislava Tamošiūnaitė-Liogienė (g. 1933 m.) iš Kuzmiškių – medikė. Sesuo Edita Liogytė-Urbonavičienė (g. 1960 m.).

1965–1976 m. mokėsi Anykščių Jono Biliūno vidurinėje mokykloje.

1976–1977 m. A. Liogė trumpai dirbo Anykščių autotransporto įmonėje autošaltkalviu, vairuotoju, 1977–1978 m. buvo Anykščių Jono Biliūno vidurinės mokyklos laborantas, 1978 m. gruodį – 1979 m. vasarį – Anykščių 2-osios vidurinės mokyklos vyresnysis pionierių vadovas, 1979 m. dirbo Vilniaus VLKJS 50-mečio vidurinėje mokykloje internate.

Tuo pačiu metu 1977–1982 m. jis neakivaizdžiai studijavo Vilniaus pedagoginiame institute, baigęs studijas, įgijo istorijos mokytojo išsilavinimą.

1979–1983 m. A. Liogė buvo respublikinės Valkininkų (Varėnos r.) vaikų tuberkuliozinės sanatorijos "Pušelė" auklėtojas. 1983–1985 m. jis dirbo Panevėžio V. Žemkalnio vidurinėje mokykloje (dabar – V. Žemkalnio gimnazija) istorijos mokytoju. 

Nuo 1985 m. iki šiol A. Liogė gyvena Anykščiuose.

1985–1990 m. A. Liogė dirbo Anykščių 62-ojoje profesinėje technikos mokykloje, Anykščių žemės ūkio mokykloje auklėtoju ir istorijos dėstytoju.

1990–1991 m. jis dirbo Anykščių kultūros paveldo apsaugos tarnyboje, 1991–1995 m. buvo Lietuvos Respublikos kultūros paveldo inspekcijos Utenos apygardos viršininkas.

1995–1997 m. A. Liogė buvo Anykščių rajono savivaldybės administratorius – pirmasis Anykščiuose tokias pareigas ėjęs savivaldybės pareigūnas. 1995–1997 m. jis buvo išrinktas Lietuvos savivaldybių asociacijos savivaldybių administratorių komiteto pirmininku.

Baigęs kadenciją, 1997–2000 m. jis dirbo Anykščių rajono aplinkos apsaugos agentūros vadovu.

Nuo 2000 m. iki šiol jis yra Arūno Liogės konsultacinės firmos (teisinės paslaugos) savininkas, nuo 2003 m. – ir privataus ūkio savininkas, ūkininkas.

1997–2001 m. A. Liogė neakivaizdžiai baigė Lietuvos teisės universitetą (dabar – M. Romerio universitetas), yra teisės magistras.

2007–2011 m. jis dirbo Kultūros paveldo departamento prie Lietuvos Respublikos kultūros ministerijos Utenos teritorinio padalinio vedėju.

2011–2015 m. jis dirbo Aknystos socialinės globos namų juristu, 2015–2020 m. buvo uždarosios akcinės bendrovės "Anykščių vandenys" juristas.

Nuo 2012 m. A. Liogė yra Anykščių rajono bendruomenės vartotojų asociacijos steigėjas ir jos pirmininkas, nuo 2013 m. – Lietuvos teisininkų draugijos Anykščių rajono skyriaus narys.

A. Liogė dalyvavo Lietuvos Atgimimo veikloje, 1989–1992 m. buvo Lietuvos Sąjūdžio Anykščių rajono tarybos narys.

Nuo 1993 m. A. Liogė buvo Tėvynės Sąjungos (Lietuvos konservatorių), po partijos pertvarkymo nuo 2008 m. kiek laiko buvo Tėvynės Sąjungos – Lietuvos krikščionių demokratų narys. 1995 m. pavasarį šios partijos sąraše jis buvo išrinktas Anykščių rajono savivaldybės 1995–1997 m. kadencijos tarybos nariu, netrukus pasitraukė iš Tarybos dėl užimtų pareigų savivaldybės administracijoje.

Visuomeninis rinkimų komitetas "A. Liogės sąrašas, remiamas N. Puteikio" iškėlė A. Liogės kandidatūrą į Anykščių rajono mero postą 2015 m. pirmuosiuose tiesioginiuose savivaldybių merų rinkimuose, bet jis nebuvo išrinktas.

2015 m. jis dalyvavo Anykščių rajono savivaldybės tarybos rinkimuose kaip visuomeninio rinkimų komiteto "A. Liogės sąrašas, remiamas N. Puteikio" kandidatas ir buvo išrinktas 2015–2019 m. kadencijos Tarybos nariu, buvo Socialinių reikalų, sveikatos ir aplinkos apsaugos komiteto narys.

Jaunystėje jis aktyviai sportavo – buvo speleoturistas. 1982–1990 m. A. Liogė nuolat keliavo po kalnus ir leidosi į urvus, buvo nusileidęs į 970 metrų gylį, savaitę išgyveno 600 metrų gylyje. 1983–1985 m. jis buvo Panevėžio speleosekcijos narys, 1984–1985 m. – jos pirmininko pavaduotojas.

Persikėlęs į Anykščius, A. Liogė 1985 m. subūrė Anykščių moksleivių speleosekciją "Nykštukas" ir 1985–1992 m. buvo jos pirmininkas. Jo vadovaujama sekcija pirmuoju veiklos dešimtmečiu aktyviai keliavo, dalyvavo Lietuvos speleologų varžybose, 1987 m. ją sudarė 42 nariai.

Laisvalaikiu plaukioja baseine, žvejoja, domisi krepšiniu ir futbolu, sodininkauja ir bitininkauja.

Vedė 1982 m., žmona Valentina Zinkevičiūtė-Liogienė (g. 1960 m.) – medikė. Dukterys: Gretė Liogytė-Staškevičienė (g. 1983 m.) ir Miglė Liogytė-Stukienė (g. 1985 m.).