Seneliai: Ciprijonas Sklėrius (1844–1928) ir Barbora Girgždytė-Sklėrienė (1851–1920) – valstiečiai žemdirbiai. Tėvai: Vitoldas Sklėrius (apie 1880 – ?) – emigrantas Rusijoje ir ? Sklėrienė. Broliai: Vitoldas Šklėris (1912–2003) – revoliucionierius, valstybės tarnautojas, ir Stanislovas Šklėrius (1914–1942) – revoliucionierius. Dėdės (tėvo broliai): Kajetonas Sklėrius (1876–1932) – dailininkas tapytojas, Alfonsas Sklėrius (1890–1943) – kariškis ir dailininkas, Povilas Sklėrius (1898–1979) – mokslininkas inžinierius melioratorius, pusseserė (tėvo sesers Emilijos duktė) Elena Viktorija Nakaitė-Arbienė-Alė Rūta (1915–2011) – rašytoja.

Tėvui dingus porevoliucinėje Rusijoje, gimė ir augo su grįžusia iš Rusijos motina ir vyresniais broliais.

Nuo 1937 m. jis įsitraukė į pogrindinę komunistinio jaunimo veiklą, priklausė Kunigiškių komjaunimo kuopelei. Su broliu Stanislovu hektografavo ir platino pogrindinę komunistinę literatūrą.

1938–1941 m. E. Šklėrius buvo Lietuvos komjaunimo Rokiškio komiteto sekretorius, nuo 1940 m. kovo įsitraukė ir į Lietuvos komunistų veiklą.

Pirmosios sovietinės okupacijos metu 1941 m. jis buvo paskirtas Panemunėlio (Rokiškio r.) milicijos viršininku, paskui išsiųstas mokytis į politinių vadovų kursus Vilniuje.

Prasidėjus Antrajam pasauliniam karui, jis pasitraukė į Rytus ir 1941–1942 m. toliau mokėsi politinių vadovų kursuose Stalinske (dabar – Novokuzneckas, Kemerovo sritis, Rusija). 1942 m. jis buvo mobilizuotas į Raudonąją armiją, 1942–1943 m. buvo 16-osios Lietuviškosios divizijos baterijos komisaras.

1943–1944 m. E. Šklėrius mokėsi partinių ir sovietinių darbuotojų kursuose Šujoje (Ivanovo sritis, Rusija), juos baigęs 1944 m. grįžo į Lietuvą.

Po karo 1944–1946 m. jis dirbo Lazdijų apskrities Vykdomojo komiteto sekretoriumi. 1946–1948 m. jis studijavo Vilniaus partinėje mokykloje.

1948–1956 m. E. Šklėrius buvo Vilkaviškio apskrities Vykdomojo komiteto pirmininko pavaduotojas, Lietuvos komunistų partijos Vilkaviškio apskrities komiteto sekretorius, paskui Lietuvos komunistų partijos Lazdijų komiteto pirmasis sekretorius.

Nuo 1956 m. jis gyveno ir dirbo ūkinį ir administracinį darbą Kaune, kol išėjo į pensiją.

Buvo vedęs, žmona Stasė Šklėrienė (1928–2013).

Mirė 1995 m. Kaune. Palaidotas Kauno Karmėlavos kapinėse (13 kvartalas, 14 eilė, 20 kapas). Kapą ženklina juodo šlifuoto akmens paminklinė stela su iškaltu įrašu: "Šklėriai / Eduardas / 1922–1995 / Stasė / 1928–2013 / Liūdi / artimieji".