Tėvas Dominykas Bieliauskas – laisvasis miestietis.

1856–1860 m. studijavo Varnių (Telšių r.) kunigų seminarijoje.

1860 m. J. Beliauskas buvo įšventintas kunigu.

1860–1862 m. jis tarnavo Kupiškio parapijoje vikaru, 1862–1867 m. buvo Vabalninko (Biržų r.) parapijos vikaras.

Numalšinus 1863 m. sukilimą, J. Beliauskas buvo kaltinamas ryšiais su sukilėliais, suimtas ir kalintas, bet rimtesnių represijų išvengė.

Atvykęs 1867 m. lapkritį, 1867–1876 m. J. Bieliauskas buvo Svėdasų (Anykščių r.) Šv. arkangelo Mykolo parapijos klebonas. Svėdasuose jis ugdė vikarus: 1868–1874 m. – Felicijoną Bytautą, 1875–1876 m. – Eligijų Montvilą.

1876–1880 m. ir vėliau jis tarnavo Ugionių (Raseinių r.) Švč. Mergelės Marijos Ėmimo į dangų bažnyčios kuratu, buvo Betygalos parapijos kunigas filialistas.

Senatvėje, apie 1908–1910 m., jis buvo pirmasis atkurtos Aukštadvario (Elektrėnų sav.) Kristaus Atsimainymo parapijos klebonas, 1910–1913 m. rūpinosi naujos, dabartinės, bažnyčios statyba.

Mirė po 1910 m.