Tėvai: Kazys Šablevičius (1890–1990) – pedagogas, žemdirbys, 1947–1958 m. politinis kalinys Karagandoje (Kazachstanas) ir tremtinys Krasnojarsko krašte (Rusija), ir Aleksandra Maskoliūnaitė-Šablevičienė (1909–1991) – žemdirbė, 1948–1957 m. tremtinė Krasnojarsko krašte. Augo dviejų vaikų šeimoje, buvo jauniausias, sesuo Danutė Ona Šablevičiūtė-Gembutienė (g. 1941 m.).

1946 m. vasario 9 d. Dabužių bažnyčioje jį pakrikštijo klebonas Petras Purauskas, krikštatėviais buvo Leonas Sudeikis ir Elena Sudeikytė. Krikšto metrikuose nurodyta gimimo data – 1946 m. sausio 21 d.

1948 m. gegužės 22 d. tėvus įkalinus ir ištrėmus, nuo kūdikystės augo pas tetas.

1953–1960 m. baigė Dabužių (Anykščių r.) septynmetę mokyklą, 1961–1966 m. – Buivydiškių (Vilniaus r.) žemės ūkio technikumą, įgijo sodininko ir daržininko specialybę.

1966–1969 m. atliko privalomąją karinę tarnybą sovietinėje kariuomenėje. 

1970–1975 m. studijavo Vilniaus universiteto Istorijos fakultete, įgijo istoriko išsilavinimą.

1975–1977 m. B. Šablevičius dirbo Anykščių rajono Vykdomojo komiteto Kultūros skyriuje kultūros ir istorijos paminklų apsaugos metodininku. Gyvendamas Anykščiuose, jis buvo neformalaus anykštėnų fotografų klubo narys. 

Nuo 1977 m. iki šiol B. Šablevičius gyvena Ignalinoje ir iki pensijos dirbo Aukštaitijos nacionalinio parko administracijoje. 1977–1999 m. jis buvo parko mokslinis bendradarbis, vyriausiasis mokslo darbuotojas, 1977–1993 m. – Aukštaitijos nacionalinio parko administracijos leisto laikraščio "Nuo Ledakalnio", paskui "Ladakalnis" redaktorius.

1977–1983 m. jis neakivaizdžiai baigė studijas Vilniaus pedagoginio instituto Biologijos fakultete, įgijo biologijos dėstytojo išsilavinimą.

1999–2009 m. B. Šablevičius buvo Aukštaitijos nacionalinio parko vyriausiasis ekologas, Gamtos skyriaus vedėjas. Po parkų reorganizacijos 2010–2018 m. jis buvo Aukštaitijos nacionalinio parko ir Labanoro regioninio parko Gamtos skyriaus vyriausiasis specialistas, kol išėjo į pensiją.

Jis taip pat yra Lietuvos ornitologų draugijos, Lietuvos entomologų draugijos, Lietuvos biologinės įvairovės draugijos narys, buvo Rytų Aukštaitijos gamtos fotografų klubo "Žalias skėtis" narys.

1992–1993 m. Ekologijos institute ir Vilniaus universitete B. Šablevičius parengė ir 1993 m. apsigynė disertaciją "Erelio žuvininko veisimasis, ekologija, elgsena ir apsaugos Lietuvoje strategija", yra biomedicinos mokslų, biologijos daktaras.

B. Šablevičius parengė ir išleido knygas:

1982 m. – "Pelėdos ir plėšrieji paukščiai" (su Eugenijumi Drobeliu, mokslo populiarinimo leidinys).

1983 m. – "Paklausyk griežlės" (gamtos vaizdeliai).

1988 m. – "Erelis žuvininkas" (mokslo populiarinimo monografija).

1990 m. – "Aukštaitijos nacionalinis parkas : svarbiausios žinios" (informacinis leidinys).

1997 m. – "Dugne pasaulis kitoks" (miniatiūros).

1998 m. – "Retieji augalai : Aukštaitijos nacionalinis parkas" (informacinis leidinys).

1999 m. – "Retosios augalų rūšys Aukštaitijos nacionaliniame parke 1978–1998 m." (monografija), "Miško paukščiai" (gamtos pažinimo leidinys), "Varliagyviai ir ropliai" (gamtos pažinimo leidinys).

2001 m. – "Vabalai" (gamtos pažinimo leidinys, antrasis atnaujintas ir papildytas leidimas – 2011 m.).

2003 m. – "Biologinei įvairovei svarbios teritorijos Aukštaitijos nacionaliniame parke" (su Liutauru Raudonikiu, pažintinis leidinys).

2004 m. – "Sfinksai" (gamtos pažinimo leidinys).

2006 m. – "Aukštaitijos nacionalinio parko paukščių įvairovė. Birds of Aukštaitija National Park" (informacinis leidinys lietuvių ir anglų kalbomis).

2013 m. – "Lututė : gyvenimas drevėje" (monografija-albumas).

2014 m. – "Lietuvos paukščiai Aukštaitijos nacionalinio parko gamtoje" (monografija).

2015 m. – "Nematomoji žmogaus pusė : memuarai".

2018 m. – "Pasikalbėkime naktimis" (publicistika).

2019 m. – "Lyg žemuogės ant smilgos šiaudo" (eilėraščiai).

2020 m. – "Per orchidėjų pievas ir miškus" (laukinių orchidėjų pažinimo vadovas), "Mudviejų vakaras : nesušukuotieji haiku" (eilėraščiai).

2021 m. – "Jei laimingai nubusiu" (eilėraščiai).

2022 m. – "Lietuvos pievų, pelkių ir miškų orchidėjos. Matomos ir pasislėpusios, pažįstamos ir nematytos" (knyga apie augaliją).

2024 m. – "Anykščių krašto gamta" (monografija-albumas).

Jis taip pat sudarė ir išleido įvairių bukletų, paskelbė straipsnių gamtos pažinimo ir populiarinimo temomis periodikoje, publikavo gamtos objektų nuotraukų savo parengtose knygose, kituose rinkiniuose ir albumuose, surengė fotografijų parodų.

B. Šablevičiaus diplominis darbas "Aukštaitijos nacionalinio parko pelėdos" buvo apdovanotas Liaudies ūkio pasiekimų parodos Maskvoje (Rusija) diplomu (1983 m.). Už miniatiūrų rinkinį "Dugne pasaulis kitoks" Rytų Lietuvos literatų konkurse jis buvo apdovanotas Tautinių mažumų ir išeivijos departamento prie Lietuvos Respublikos Vyriausybės laureato diplomu (2000 m.). Lietuvos laukinės gamtos respublikiniame fotografijų konkurse "Gintarinis žaltys 2010" jis buvo nominuotas kaip geriausios nuotraukos autorius kategorijoje "Gamta ir žmogus".

Valstybės saugomų teritorijų tarnybos ir "Eko Bangos" surengtame konkurse jam pirmajam šalyje suteiktas Lietuvos "Gamtos riterio" titulas (2011 m.). Jam skirta Ignalinos rajono savivaldybės Miko ir Kipro Petrauskų premija (2011 m.), jis yra Aplinkos ministerijos Viktoro Bergo premijos laureatas (2013 m.), Lietuvos ornitologų draugijos Garbės narys (nuo 2026 m.).

Laisvalaikiu domisi teatru, muzika, renka vabzdžių kolekciją, fotografuoja gamtą ir keliauja. Kaip gamtos stebėtojas lankėsi Peru.

Nevedęs.

Ignalinos viešoji biblioteka sudarė ir išleido B. Šablevičiaus bibliografiją (2002 m.).