Tėvai: – Gasparas Telksnys ir Konstancija Karkaitė-Telksnienė – valstiečiai žemdirbiai.

1891 m. gruodžio 19 d. Pasvalio bažnyčioje jį pakrikštijo vikaras Jonas Banevičius, krikštatėviai buvo valstiečiai Liudvikas Telksnys ir Karolina Balčiūnaitė.

1907–1908 m. mokėsi Mintaujos (dabar – Jelgava, Latvija) komercinėje mokykloje, 1908–1911 m. baigė Kauno "Saulės" draugijos kursus, išlaikė keturių klasių baigimo egzaminus. 1912–1918 m. su pertrauka, kai 1916–1917 m. seminarija neveikė, studijavo Kauno Žemaičių kunigų seminarijoje.

1918 m. gruodžio 21 d. K. Telksnys buvo įšventintas kunigu.

Paskirtas 1918 m. gruodžio pabaigoje, 1918–1920 m. jis tarnavo vikaru Ariogaloje (Raseinių r.), paskui 1920 m. nuo balandžio 18 d. iki rugpjūčio 18 d. buvo Raudondvario (Kauno r.) vikaras, bet vėl buvo grąžintas į Ariogalą ir 1920–1925 m. ten toliau tarnavo vikaru, visą laiką talkino klebonui Teofiliui Nainiui.

1925 m. gegužės 16 d. K. Telksnys buvo paskirtas Zarasų vikaru, 1925 m. rugpjūčio 1 d. – ir Zarasų vidurinės mokyklos kapelionu bei tikybos dėstytoju, 1925–1926 m. tarnavo Zarasuose, talkindamas klebonui Baltramiejui Gaidžiui.

Nuo 1926 m. gegužės jis perkeltas vikaru į Žeimius (Jonavos r.), nuo 1927 m. sausio iki 1928 m. gruodžio buvo Kelmės vikaras ir kapelionas, Kelmės vidurinės mokyklos tikybos mokytojas. Perkeltas 1929 m. sausį, jis kelis mėnesius tarnavo vikaru Krakėse (Kėdainių r.).

Paskirtas 1929 m. gegužės 16 d., 1929–1930 m. K. Telksnys buvo Kavarsko (Anykščių r.) Šv. Jono Krikštytojo parapijos vikaras, kol 1930 m. lapkritį buvo iškeltas. Iš pradžių jis talkino klebonui Leonui Špakevičiui, paskui Anicetui Barakauskui.

1930–1954 m. K. Telksnys tarnavo Paupyje (Raseinių r.), kur pakeitė bažnyčios statytoją ir pirmąjį filijos kuratą Izidorių Gudavičių. 1930–1948 m. jis buvo Paupio Šv. Šeimos – Jėzaus, Marijos ir Juozapo bažnyčios kuratas, kunigas filialistas. Įkūrus Paupio parapiją, nuo 1948 m. balandžio 17 d. jis paskirtas pirmuoju šios parapijos klebonu ir šias pareigas ėjo 1948–1954 m. Tarnaudamas Paupyje, jis sutvarkė ir nudažė bažnyčios varpinę, apkalė lentelėmis ir nudažė kleboniją, nudažė bažnyčios stogą (1953 m.). Sudėtingais pokario metais jis pasižymėjo kantrumu ir ištvermingumu, įstengdamas gerai sugyventi su visais žmonėmis.

1954–1956 m. jis buvo Kriukų (Joniškio r.) Šv. Lauryno parapijos klebonas, 1956 m. trumpai tarnavo Šiupylių (Šiaulių r.) Šv. Aloyzo parapijos klebonu.

Netekęs sveikatos, 1956–1959 m. jis buvo Pašvitinio (Pakruojo r.) Švč. Trejybės parapijos altarista, paskui 1959–1975 m., iki gyvenimo pabaigos, liko Ariogalos (Raseinių r.) Šv. arkangelo Mykolo parapijos altarista, grįžęs ten, kur ir pradėjo savo tarnystę.

1968 m. rugsėjo 1 d. jis Ariogaloje paminėjo savo kunigystės 50-metį, buvo kunigas jubiliatas.

1974 m. pabaigoje pablogėjus sveikatai, lapkričio 6 d. jis persikėlė slaugai pas gimines į Pasvalį.

Mirė 1975 m. vasario 16 d. Pasvalyje. Palaidotas Pasvalio senosiose kapinėse. Kapą ženklina šlifuotų pilko ir rausvo akmens plokščių kompozicija-stela su portretiniu bareljefu, iškaltais dviem religinio turinio siužetais  ir įrašu: "A+A / Kun. Kazimieras / Telksnys / 1891–1975", postamente iškaltas įrašas: "Ateikite pas mane visi, kurie vargstate ir esate apsunkinti, / ir aš jus atgaivinsiu. / (Mat. 11,28)".