Tėvai: Justinas Vėžys (apie 1835 – 1910) ir Elžbieta Ūsaitė-Vėžienė (1853–1932) iš Sudeikių – valstiečiai žemdirbiai. Broliai ir seserys: Kazimieras Vėžys (1877–1922), Kotryna Vėžytė (1880–1891) – mirė vaikystėje, Ignotas Vėžys (1884–1891) – mirė vaikystėje, Juozapas Vėžys (1887–1891) – mirė vaikystėje, Marijona Vėžytė (1890–1890) – mirė kūdikystėje ir Motiejus Vėžys (1892–1893) – mirė kūdikystėje.

1896 m. kovo 16 d. Traupio bažnyčioje jį pakrikštijo klebonas Juozapas Butvydas, krikštatėviais buvo Motiejus Bernatonis ir Karolina Ūsaitė.

Pirmojo pasaulinio karo metais pasitraukė į Rytus, augo Rusijoje, 1917 m. baigė Martyno Yčo įsteigtą lietuvių karo pabėgėlių vyrų gimnaziją Voroneže, studijavo Maskvos komercijos institute.

1917 m. J. Vėžys dirbo Voronežo darbo biržoje viršininko padėjėju. Mobilizuotas į Rusijos kariuomenę, jis tarnavo Čiugujevo atsargos dalinyje.

Grįžęs į Lietuvą, 1919 m. spalio 5 d. J. Vėžys buvo mobilizuotas į Lietuvos kariuomenę ir paskirtas į Intendantūros dalį, nuo 1920 m. gegužės 1 d. buvo vyr. raštvedys, gegužės 21 d. jam buvo suteiktas karo valdininko laipsnis.

1920 m. lapkričio 1 d. jis buvo perkeltas į tarnybą Armijos teisme, paskui 1921–1923 m. tarnavo Kariuomenės intendantūroje prekių dalies viršininko padėjėju, kol 1923 m. gruodžio 5 d. jo prašymu buvo išleistas į atsargą.

1937 m. J. Vėžys dirbo Kauno audinių fabrike "Liteksas". 1937 m. lapkričio 23 d. kaip buvusiam karo valdininkui, laikomam karininkų atsargoje, jam buvo suteiktas administracijos atsargos jaunesniojo leitenanto karinis laipsnis.

Nuo 1939 m. rugsėjo 12 d. J. Vėžys buvo Lietuvos šaulių sąjungos narys, kol 1940 m. vasarą šios organizacijos veikla buvo nutraukta.

Mirė 1956 m. Kaune. Palaidotas Kauno Petrašiūnų kapinėse (19 kvartalas, 2 eilė, 4 kapavietė). Kapą ženklina rausvo akmens paminklinė stela su iškaltu įrašu: "Savinskai / Martynas 1893–1956 / Marija 1901–1989 / Jonas Vėžys / 1896–1956".

J. Vėžio gyvenimas ir veikla pristatoma enciklopedinio žinyno "Lietuvos kariuomenės karininkai 1918–1953" 8-ajame tome (2008 m.).