Tėvai: Adomas Žvirblis ir Rozalija Jankauskaitė-Žvirblienė – valstiečiai žemdirbiai. Augo jauniausias penkių vaikų šeimoje. Pusbrolis (motinos brolio sūnus) Martynas Jankauskas (1872–1920) – kunigas.

Baigė Ukmergės gimnaziją, įstojo į kunigų seminariją, bet nepajutęs pašaukimo mokslą metė. Tikėjosi pradėti dirbti vaistininku, bet tėvų iš namų išvarytas apie 1901 m. išvyko į Maskvą (Rusija).

1901–1902 m. S. Žvirblis dirbo privačioje V. K. Fereino vaistinėje mokiniu, kol buvo mobilizuotas į carinės Rusijos kariuomenę. Baigęs tarnybą, jis iki 1910 m. studijavo Maskvos universitete farmaciją, išlaikė provizoriaus egzaminus ir įgijo vaistininko išsilavinimą. Studijuodamas kartu su kitais lietuviais – Antanu Žukausku-Vienuoliu, A. Sutkumi – jis vaidino Maskvos lietuvių šelpimosi draugijos studentų spektakliuose: G. Žemkalnio "Blinda" (1908 m.), P. Petliuko "Neatmezgamas mazgas" ir kituose.

1911–1914 m. S. Žvirblis dirbo vaistinės vedėju Čitoje (Rusija). Prasidėjus Pirmajam pasauliniam karui, 1914 m. jis buvo mobilizuotas ir iki 1918 m. labai sunkiomis sąlygomis buvo karo vaistinės vedėjas Lenkijoje, Čekijoje, Austrijoje. 

Karo metais sukūręs šeimą, 1918 m. S. Žvirblis grįžo į Lietuvą.

Pasiskolinęs iš studijų draugo A. Žukausko-Vienuolio pinigų, jis 1923 m. išsinuomojo seną kalvio Antano Baranausko namelį Skiemonyse (Anykščių r.), užsisakė baldus ir 1925 m. ten atidarė vaistinę. S. Žvirbliui teko dirbti ir gydytoju, nes tais laikais valsčiuje nebuvo net medicinos sesers. Jis šelpė senus žmones, našlaičius, neturtingus ligonius, dirbo neskaičiuodamas savo valandų, dažnai išvis be poilsio. Vaistų atsiveždavo iš didesnių miestų, vaistažoles augindavo savo darželyje.

S. Žvirblis draugavo su rašytoju A. Vienuoliu, dalyvavo tautinio atgimimo sąjūdyje, kultūrinėje veikloje, buvo aktyvus parapijos rėmėjas. Jis taip pat dalyvavo tautininkų partijos veikloje, Nepriklausomoje Lietuvoje buvo Skiemonių moralinis autoritetas ir gero elgesio pavyzdys.

1940 m. jo vaistinė buvo nacionalizuota, o S. Žvirblis liko dirbti valstybinės Skiemonių vaistinės vedėju.

1949–1964 m. S. Žvirblis artimai bičiuliavosi su Skiemonių klebonu Aleksandru Papučka, vėliau, jam išvykus į kitas parapijas, palaikė ryšius laiškais. Už tai sovietinės valdžios jis buvo persekiojamas, tardomas.

1968 m. gruodžio 14 d., sulaukęs 88 metų, dėl senatvės S. Žvirblis buvo atleistas iš provizoriaus pareigų ir apsigyveno Anykščiuose, globojamas Anelės Savickaitės (1913–1991). Tuo metu S. Žvirblis buvo vyriausias amžiumi Lietuvos farmacininkas.

Vedė iki 1918 m., žmona Pelagėja Visockaja-Žvirblienė (? – apie 1940) – akušerė. Vaikų neturėjo.

Mirė 1971 m. sausio 16 d. Anykščiuose. Palaidotas Anykščių senosiose kapinėse. Kapą ženklina akmeninis paminklas – juodo šlifuoto akmens stela su akmeniniu kryžiumi virš jos. Steloje iškalti provizoriaus simboliai ir įrašai: "A + A / Provizorius / Steponas / Žvirblis / 1880–1971" ir "Žemėje tarnavau Dievui ir / žmonėms, o dabar esu pas Amžinąjį / Tėvą". Postamente iškaltas įrašas: "Anėlė Savickaitė / 1913–1991".

Lietuvos medicinos ir farmacijos istorijos muziejuje Kaune saugomi S. Žvirblio atsiminimai farmacijos istorijos tema, rašyti 1957 m.

S. Žvirblio gyvenimas ir veikla pristatyta Reginos Stonkutės-Žukienės ir Anatolijaus Kostiukevičiaus sudarytame žinyne "Žymiausi Lietuvos farmacininkai" (leidinio "Lietuvos farmacija" I tomas, 1998 m.).