Tėvai: Kazimieras Šlamas ir Ona Vilūnaitė-Šlamienė.

1894 m. baigė Kauno Žemaičių kunigų seminariją, buvo įšventintas kunigu.

1894–1896 m. B. Šlamas buvo Šenbergo (dabar – Skaistkalnė, Latvija) Švč. Mergelės Marijos Ėmimo į dangų katalikų parapijos vikaras. Perkeltas 1896 m. birželį, 1896–1898 m. jis buvo Viešintų (Anykščių r.) Šv. arkangelo Mykolo parapijos vikaras, talkino klebonui Povilui Gailevičiui.

Viešintų parapijoje jis platino lietuvišką spaudą, kurią pirkdavo iš knygnešio Juozo Mickūnaičio ir slapta palikdavo žmonių susibūrimo vietose, ragindavo kaimų jaunimą pirkti knygas iš J. Mickūnaičio, mokė dainuoti. Jis važinėdavo po kaimus, rinkdavo dainas ir senas knygas. Amžininkų liudijimu jis pykosi su vietiniais bajorais, nutolusiais nuo lietuvybės, ir visaip skatino lietuvišką kultūrinę veiklą.

B. Šlamas Viešintose artimai bendravo su Stanislovu Didžiuliu, vėliau – ir su L. Didžiuliene, gyvenusia Mintaujoje (dabar – Jelgava, Latvija). Kartu su S. Didžiuliu ir Ukmergės advokatu Boleslovu Birieta (1848–1923) jis organizavo prašymus Rusijos carui dėl spaudos draudimo panaikinimo, rinko valstiečių parašus.

1898 m. pavasarį jis buvo perkeltas vikaru į Goldingos (dabar – Kuldyga, Latvija) Švč. Trejybės katalikų parapiją ir ten tarnavo 1898–1900 m., kartu eidamas ir Ventspilio parapijos kunigo filialisto pareigas. Jis rūpinosi naujų maldos namų statyba Ventspilyje, talkindamas vietiniam klebonui Pranciškui Lukšui ir rinkdamas aukas bažnyčiai statyti. Susirgus Mintaujos klebonui, jį pavaduodamas, jis kiek laiko tarnavo ir Mintaujoje. Bandydamas suartinti tikinčiuosius, jis sakydavo pamokslus keturiomis kalbomis: lietuvių, latvių, vokiečių ir lenkų.

Londono (Didžioji Britanija) lietuviams kuriant savo parapiją ir ieškant lietuvio kunigo, B. Šlamas 1900 m. gruodį išvyko į Londoną ir 1901–1903 m. ten tarnavo lietuvių katalikų parapijose. Jis buvo pirmasis lietuvių dvasininkas, pradėjęs tarnystę šioje lietuvių emigrantų bendruomenėje ir pradėjęs tikinčiųjų bendruomenės verslo tradicijas: labdaros pokylius, specialias rinkliavas ir kitas finansines priemones.

Jau 1901 m. sausio 7 d. subūręs lietuvius tikinčiuosius – apie 450 šeimų ir vietos vyskupo valia įsteigęs pirmąją parapiją, 1901–1902 m. jis buvo Londono Šv. Petro lietuvių katalikų parapijos draugijos – savivaldos teises gavusios religinės bendruomenės – rektorius.

Nesutardamas su kitais šios draugijos vadovais pasauliečiais, 1901 m. vasario 9 d. B. Šlamas subūrė bendraminčius ir įkūrė kitą Šv. Kazimiero parapijos draugiją, tapdamas vienvaldžiu jos vadovu.

Iš pradžių B. Šlamas organizavo lietuviškas pamaldas Londone vokiečių Šv. Bonifaco bažnyčioje, bet jau 1901 m. pavasarį ėmė organizuoti atskirų lietuviškų maldos namų statybą. Ši B. Šlamo idėja suvienijo Šv. Petro ir Šv. Kazimiero draugijas, kurios 1901 m. pabaigoje įsigijo pastatą ir 1902 m. pradžioje įsirengė savo bažnyčią, kur dvasininkas 1902 m. kovo 30 d. aukojo pirmąsias Šv. Mišias, pamaldomis pradėdamas Šv. Kazimiero parapijos istoriją.

1902–1903 m. B. Šlamas buvo Londono lietuvių Šv. Kazimiero parapijos klebonas. 1902 m. spalį jis pasitraukė nuo finansinių parapijos reikalų, perduodamas juos aktyviems pasauliečiams, o 1903 m. sausio 3 d. – ir iš klebono pareigų, nesutikdamas su sprendimu sumažinti jam atlyginimą.

1903 m. B. Šlamas išvyko į JAV, kur 1908 m. metė kunigystę, perėjo į liuteronų tikėjimą ir sukūrė šeimą.

Prieš Pirmąjį pasaulinį karą jis grįžo į Lietuvą, gyveno Karčrūdės dvare (Šakių r.), o prasidėjus karui 1915 m. pasitraukė į Rytus, iki gyvenimo pabaigos liko Odesoje (Ukraina).

Amžininkų prisiminimuose išliko kaip itin reiklus ir principingas dvasininkas, kategoriškai laikęsis pasirinktos nuomonės ir nesileidęs perkalbamas, todėl neretai įsiveldavęs į konfliktus.

Vedė apie 1908 m. JAV. Duktė Elė Šlamaitė-Schmidt.

Mirė 1917 m. Odesoje (Ukraina).