Gimimo data pagal naująjį kalendorių – 1899 m. spalio 6 d., kitų šaltinių duomenimis – 1899 m. sausio 9 d.

Tėvai: Mykolas Telksnys (1869–1950) ir Marijona Ylonytė-Telksnienė (1876–1909) – žemdirbiai vidutiniai valstiečiai. Buvo vyriausias vaikas šeimoje. Sesuo ir broliai: Eleonora  Telksnytė-Rakauskienė (1902–1970), Alfonsas Telksnys (1906–1981) ir Juozas Telksnys (1907–1982) – žemdirbys. Sūnėnas (sesers Eleonoros sūnus) Vytautas Rakauskas (1929–2019) – rašytojas ir tekstologas, giminaitė (pusbrolio Alfonso duktė) Milda Elena Telksnytė (g. 1938 m.) – rašytoja, publicistė.

Motinai anksti mirus, o tėvui vėl vedus, sūnų augino ir į mokslus išleido įmotė Uršulė Karvelytė-Telksnienė (1881–?), kuri irgi jauna mirė. Kartu augo ir jo brolis ir seserys iš antrosios tėvo santuokos:  Stefanija Telksnytė-Sližienė (1913–2014) – pedagogė, Vladislovas Telksnys (1915–2018) – laisvės gynėjas, rezistentas, publicistas memuaristas, Stanislava Telksnytė (1920–1927) – mirė vaikystėje ir Bronė Telksnytė-Balaišienė.

Mokėsi Alantos (Molėtų r.) pradžios mokykloje, 1910–1914 m. baigė keturių klasių Utenos mokyklą. 1914–1915 m. baigė vienerių metų "Ryto" draugijos pedagoginius kursus Vilniuje.

1915–1916 m. S. Telksnys dirbo Žasliuose (Kaišiadorių r.) pradžios mokyklos mokytoju, 1916–1917 m. buvo Molėtų pradžios mokyklos mokytojas.

1917–1922 m. jis baigė Žemaičių vyskupijos kunigų seminariją Kaune. 1922 m. kovo 5 d. jis buvo įšventintas subdiakonu.

1922 m. spalio 8 d. S. Telksnys buvo įšventintas kunigu. Spalio 15 d. jis aukojo pirmąsias Šv. Mišias gimtosios Alantos parapijos bažnyčioje.

1922–1928 m. su pertraukomis jis tęsė studijas Lietuvos universiteto Teologijos-filosofijos fakulteto Teologijos skyriuje, įgijo teologinį išsilavinimą.

Studijuodamas 1923–1927 m. jis kartu tarnavo vikaru Deltuvos (Ukmergės r.) Švč. Trejybės parapijoje, talkino klebonui Jonui Šurnai. Ten jis aktyviai dalyvavo bendruomenės gyvenime, ėmėsi organizuoti valsčiaus valdybos pakeitimą, kai valdininkai prasigėrė.

Nuo 1925 m. S. Telksnys buvo Katalikų spaudos biuro, kuriam pirmininkavo kunigas Stasys Ūsoris, iždininkas. 1927 m. persikėlęs į Kauną, 1927–1934 m. jis dirbo Katalikų veikimo centro instruktoriumi, 1929–1934 m. buvo Kauno Šv. Kryžiaus bažnyčios vikaras. 1929–1934 m. jis buvo ir Katalikų veikimo centro dvasios vadas Kaune, 1932–1934 m. – Lietuvos katalikių moterų draugijos Kauno regiono dvasios vadas, skatino ir kitų katalikiškų organizacijų veiklą Kauno arkivyskupijos parapijose.

Paskirtas 1934 m. sausio 1 d., 1934–1939 m. S. Telksnys buvo Kurklių (Anykščių r.) Šv. Jurgio parapijos administratorius. Kurkliuose iki 1939 m. jis ugdė vikarą Joną Klimavičių. Jis skatino tautinių ir katalikiškų jaunimo organizacijų veiklą, 1935–1939 m. buvo Katalikų veikimo centro Kurklių skyriaus valdybos pirmininkas, stengėsi suvienyti idėjinių skirtumų turėjusius ateitininkus, pavasarininkus ir jaunalietuvius. Jis surinko ir parašė pirmąją Kurklių parapijos istoriją (jos likimas nežinomas). S. Telksnio rūpesčiu 1937–1939 m. buvo statoma Užunvėžių (Anykščių r.) Švč. Mergelės Marijos bažnyčia, jis buvo šios statybos iniciatorius ir komiteto pirmininkas. Kaip Kurklių parapijos administratorius S. Telksnys 1938 m. balandį Kurklių kapinėse palaidojo prelatą Joną Maciejauską, kaip Ukmergės klebonas 1939 m. rugpjūtį – IV Seimo narį Klemensą Graužinį, prie jų kapų pasakė kalbas.

1939 m. pavasarį mirus Ukmergės klebonui Leonui Špakevičiui, S. Telksnys buvo perkeltas iš Kurklių į Ukmergę ir 1939–1944 m. buvo Ukmergės Šv. apaštalų Petro ir Pauliaus parapijos klebonas bei Ukmergės vicedekanas, dalyvavo pasipriešinimo vokiečių okupacinei valdžiai akcijoje, trukdė mobilizuoti lietuvius į vokiečių kariuomenę. Ukmergėje nuo vokiečių persekiojimo jis išgelbėjo 5 asmenų žydų šeimą.

Paskirtas 1944 m. gegužę, 1944–1946 m. S. Telksnys buvo Šiaulių Šv. apaštalų Petro ir Pauliaus bažnyčios klebonas ir Šiaulių dekanas. 1944 m. vasarą jis buvo pasitraukęs į Žemaitiją ir kelis mėnesius laikinai ėjo Gargždų klebono pareigas, tik spalį grįžo į Šiaulius.

Nuo 1944 m. lapkričio S. Telksnys buvo karo pabaigoje sugriautos Šiaulių bažnyčios atstatymo komiteto pirmininkas. Jo iniciatyva buvo skubiai atstatinėjama Šv. apaštalų Petro ir Povilo bažnyčia, 1945 m. birželį tikintieji jau buvo pakviesti į ją melstis. Šiauliuose jis priglaudė brolio Vladislovo Telksnio šeimą ir padėjo jai slapstytis svetima pavarde.

Nuo 1946 m. spalio, kai buvo suimtas jo vikaras, S. Telksnys slapstėsi nuo sovietinės valdžios represijų, 1946–1948 m. gyveno įvairiose klebonijose, turėjo fiktyvius dokumentus, 1948–1949 m. buvo apsistojęs Vilniuje, paskui išvyko į Rusiją. 1949 m. gruodį Leningrade (dabar – Sankt Peterburgas, Rusija) jis buvo susektas ir suimtas, teisiamas Maskvos ypatingajame pasitarime ir nuteistas 25 metus kalėti. 1949–1956 m. jis kalėjo Mordvijos (Rusija) lageriuose.

1956 m. rugsėjo 5 d. paleistas iš lagerio ir grįžęs į Lietuvą, 1956–1962 m. S. Telksnys kaip altarista gyveno Veliuonoje (Jurbarko r.) ir Kelmėje, kol 1962 m. buvo paskirtas Kauno arkivyskupijos ir Vilkaviškio vyskupijos kancleriu ir šias pareigas ėjo 1962–1974 m., iki gyvenimo pabaigos. Kiek laiko jis buvo ir Kauno Šv. Antano Paduviečio parapijos klebonas.

Nuo 1961 m. iki gyvenimo pabaigos S. Telksnys dėstė Kauno kunigų seminarijoje Šventąjį Raštą.

Jaunystėje nuo 1914 m. ir studijuodamas 1917–1920 m. jis bendradarbiavo spaudoje, rašydavo į "Lietuvos ūkininką", "Ateitį", "Pavasarį", "Mūsų laikraštį", "Rytą" ir kitus periodinius leidinius korespondencijas, publicistinius straipsnius, pamokslus bei publikavo vertimus, pasirašinėdamas slapyvardžiais Steponas Tautietis ar St. Tau-tis. Jis paruošė ir iki Antrojo pasaulinio karo išleido pluoštą religinės ir patriotinės tematikos publicistinių leidinių, 1943 m. redagavo nereguliariai leistas "Ukmergės parapijos žinias" (išėjo trys numeriai).

S. Telksnio parengtos ir išleistos knygelės:

1921 m. – "Raudonoji vėliava : socializmo rojaus vaizdeliai".

1929 m. – "Priekaištai katalikų veikimui", "Šventas Tėvas Pijus XI katalikų veikimo apaštalas : Popiežiaus jubiliejui paminėti".

1932 m. – "Kam ir kaip organizuoti vyrus?", "Kas mes esame?".

1933 m. – "Ką sako Šventieji Metai?".

1934 m. – "Kaip pasiaukoti Šv. Jėzaus Širdžiai?".

1936 m. – "Svarbiausia tėvų pareiga".

1938 m. – "Lietuvos krikštas : krikščionybės įvedimo Lietuvoje 550 metų jubiliejui paminėti : paskaita", "Būkime katalikų spaudos apaštalais".

S. Telksniui buvo suteiktas Kauno arkivyskupijos katedros kapitulos garbės kanauninko titulas (1944 m.), jis buvo paskirtas Kauno metropolinės kapitulos kanauninku (1958 m.). Popiežius Paulius VI jam suteikė prelato titulą (1972 m.).

1972 m. paminėjęs savo kunigystės 50-metį, jis buvo kunigas jubiliatas.

Mirė 1974 m. rugsėjo 14 d. Kaune, Arkikatedros bazilikos zakristijoje, atėjęs laikyti Šv. Mišių. Palaidotas Kauno Petrašiūnų kapinėse (18 kvartalas, 5 eilė, 12 kapas). Kapą ženklina juodo šlifuoto akmens paminklinė kompozicija su iškaltais įrašais: "APA / Monsinjoras kan. / Steponas / Telksnys / 1899–1974" ir "Tavimi pasitikiu, Dieve, / ir amžiais nebūsiu / apviltas. Ps. 30".