Tėvai: Povilas Dapkevičius ir Ona Eivaitė-Dapkevičienė. Augo trečias vaikas šeimoje. Brolis Stasys Dapkevičius (1943–2019) – inžinierius, vadovas.

1958–1962 m. mokėsi Bičionių pradinėje mokykloje, 1962–1966 m. – Burbiškio (Anykščių r.) aštuonmetėje mokykloje, 1966–1970 m. baigė Šiaulių K. Didžiulio politechnikumą, įgijo mechaniko specialybę.

1970 m. A. Dapkevičius dirbo Kretingos autotransporto kolonoje garažo tarnybos darbuotoju, kol buvo pašauktas į privalomąją karinę tarnybą sovietinėje kariuomenėje ir ją atliko 1970–1972 m.

Grįžęs iš tarnybos, nuo 1972 m. iki šiol jis gyvena ir dirba Vilniuje.

1972–1974 m. A. Dapkevičius buvo Vilniaus 8-osios autotransporto įmonės garažo tarnybos darbuotojas, 1974–1977 m. – Vilniaus 2-osios autotransporto įmonės 1-osios autokolonos remonto dirbtuvių techninio ir gamybinio skyriaus darbuotojas.

1973–1979 m. jis neakivaizdžiai studijavo Vilniaus inžinerinio statybos instituto Mechanikos fakultete, įgijo mechanikos inžinieriaus išsilavinimą. Vėliau 1985–1987 m. jis tęsė studijas Vilniaus marksizmo-leninizmo universitete.

1977–1985 m. A. Dapkevičius buvo Lietuvos SSR materialinio ir techninio tiekimo komiteto autotransporto įmonės Techninio skyriaus darbuotojas.

1985–1995 m. jis buvo Vilniaus 5-osios autotransporto įmonės, valstybinės akcinės autotransporto įmonės Techninio skyriaus technikos direktorius, įmonės generalinis direktorius. Po šios įmonės pertvarkymo 1995–2014 m. jis buvo akcinės bendrovės "Kirtimų autotransportas" valdybos pirmininkas ir generalinis direktorius, kol išėjo į pensiją.

1997 m. jis buvo vienas iš pirmųjų 15 Vežėjų klubo steigėjų, iki šiol yra aktyvus šio klubo narys.

Laisvalaikiu skaito grožinę bei istorinę literatūrą, mėgsta operą, baletą, vairuoja automobilius, seka politinius įvykius.

Vedęs, žmona Ksaverija Pundziutė-Dapkevičienė (g. 1949 m.) – inžinierė metrologė. Vaikai: Linas Dapkevičius (g. 1974 m.), Gerda Dapkevičiūtė-Krukonienė (g. 1977 m.), Karolis Dapkevičius (g. 1978 m.) – vadybininkas.