Tėvas Jokūbas Simsonas.

Baigė Kauno tarpdiecezinę kunigų seminariją.

1949 m. rugsėjo 25 d. Kauno Švč. Trejybės bažnyčioje Panevėžio vyskupas K. Paltarokas įšventino B. Simsoną kunigu. Kartu buvo įšventintas Vytautas Griganavičius ir kiti kunigai.

Nuo 1949 m. jis tarnavo vikaru Saločiuose (Pasvalio r.), paskui buvo Anciškio (Kėdainių r.) Šv. Mato, 1957–1961 m. – Biliakiemio (Utenos r.) Švč. Mergelės Marijos Vardo, 1961–1966 m. – Baltriškių (Zarasų r.) Šv. Kazimiero ir Imbrado (Zarasų r.) Nukryžiuotojo Jėzaus parapijų klebonas. Paskirtas 1967 m. sausio pradžioje, 1967–1968 m. pusantrų metų jis buvo Daugailių (Utenos r.) Šv. Antano Paduviečio parapijos klebonas.

1977-1986 m. B. Simsonas tarnavo Ragelių (Rokiškio r.) Švč. Mergelės Marijos parapijos klebonu.

Paskirtas 1986 m. gegužės 28 d., 1986–1991 m. jis buvo altarista Kamajuose (Rokiškio r.).

1991 m. lapkričio 7 d. jis buvo perkeltas altarista į Svėdasus (Anykščių r.) ir 1991–1993 m. talkino administratoriui Vladui Rabašauskui.

Nuo 1993 m. birželio 23 d. iki gyvenimo pabaigos jis vėl gyveno kaip altarista Kamajuose.

Amžininkų prisiminimuose liko kaip draugiškas, nuoširdus, artistinių gebėjimų turėjęs dvasininkas, mėgęs pamėgdžioti žinomų asmenų balsus.

Mirė 2001 m. rugpjūčio 6 d. Kamajuose (Rokiškio r.). Palaidotas Kamajų bažnyčios šventoriuje. Kapą ženklina antkapis ir akmens plokštė paminklo vietoje su įrašu "A+A / Kunigas Bronius / Simsonas / 1925–2001", jo ir greta palaidoto Petro Kielos kapas aptvertas bendra metaline tvorele, yra bendras senas geležinis kryžius ant akmeninio postamento.