Apie 1902–1907 m. studijavo ir baigė Kauno Žemaičių kunigų seminariją.

1907 m. spalio 28 d. vyskupas Gasparas Cirtautas įšventino I. Bandziulį kunigu. Kartu buvo įšventinti Juozapas Adomavičius, Antanas Ivaška ir kiti kunigai – iš viso 12 seminaristų.

1907 m. jis tarnavo vikaru Tveruose (Rietavo sav.).

Atvykęs 1907 m. lapkritį, 1907–1911 m. I. Bandziulis buvo Anykščių Šv. Mato parapijos vikaras, talkino klebonui Juozapui Vembrei. Anykščiuose jis rūpinosi Vartotojų draugijos veikla, inicijavo vadovybės keitimą, kad veikla būtų aktyvesnė, 1910–1911 m. jis buvo šios draugijos iždininkas. I. Bandziulio iniciatyva Anykščiuose buvo atidaryta arbatinė.

Perkeltas 1911 m. liepą, 1911–1912 m. pusmetį jis buvo Sedos (Mažeikių r.) vikaras, 1912–1913 m. tarnavo vikaru Salantuose (Kretingos r.), 1913 m. pusmetį buvo Kruopių (Akmenės r.) vikaras. 1913 m. birželio–liepos mėnesiais jis buvo paskirtas Kriaunų (Rokiškio r.) vikaru, 1913–1914 m. pusmetį buvo vikaras Girkalnyje (Raseinių r.).

1914–1915 m. I. Bandziulis tarnavo Pumpėnų (Pasvalio r.) parapijoje vikaru. Pumpėnuose jis buvo aktyvus "Blaivybės" draugijos narys, kiek laiko ėjo šios draugijos Pumpėnų skyriaus pirmininko pareigas, paskui buvo skyriaus kasininkas.

1915–1918 m., iki gyvenimo pabaigos, jis tarnavo Šilų (Panevėžio r.) Šv. Jėzaus Vardo parapijos klebonu.

Mirė 1918 m. spalio 12 d. Šiluose (Panevėžio r.). Palaidotas Paberžės (Kėdainių r.) bažnyčios šventoriuje šalia kitų kunigų. Kapą ženklina akmeninis paminklas – rausvo akmens kryžius ant pilko šlifuoto akmens postamento, postamente iškaltas įrašas: "A+A / Kun. Ignacas / Bondziulis / + 1918 m. 12. X. / amžiaus 35 m.".