Seneliai: Silvestras Puodžiukas (apie 1835 – 1915) ir Cecilija Apanskaitė-Puodžiukienė (?–1927) – žemdirbiai iš Šeduikių; Antanas Baliuka ir Kristina Matuliauskaitė – žemdirbiai iš Bebarzdžių. Tėvai: Jonas Puodžiukas (1890–1971) iš Šeduikių (Utenos r.) ir Marijona Baliukaitė-Puodžiukienė (1887–1969) iš Bebarzdžių – žemdirbiai. Sesuo dvynė Ona Puodžiukaitė (1923–1942) mirė jaunystėje.

Mokėsi Puodžių (Anykščių r.) pradžios mokykloje, Anykščių progimnazijoje, baigė Utenos gimnaziją. Vaikystėje ir mokykliniais metais domėjosi augalais, rinko herbariumus. 1945–1950 m. baigė studijas Lietuvos žemės ūkio akademijoje, įgijo agronomo išsilavinimą.

1952–1985 m. A. Puodžiukas dirbo Lietuvos žemdirbystės instituto Elmininkų (Anykščių r.) bandymų stoties direktoriumi, 1977–1985 m. kartu buvo ir jos eksperimentinio ūkio direktorius.

1968 m. Lietuvos žemės ūkio akademijoje jis apsigynė disertaciją "Įvairių sideratų efektyvumas sėjomainoje", buvo žemės ūkio mokslų kandidatas, 1993 m. nostrifikuotas biomedicinos mokslų, agronomijos daktaras.

Nuo 1980 m. jis buvo vyriausiasis mokslo darbuotojas. Nuo 1985 m. iki pensijos A. Puodžiukas dirbo Elmininkų bandymų stoties Bulvininkystės skyriaus vedėju.

A. Puodžiukas pirmasis Lietuvoje ėmė propaguoti specializuotą bulvių sėjomainą ir įdiegė ją Elmininkų bandymų stoties eksperimentiniame ūkyje. Jis tyrinėjo lubinų kaip priešsėlio javams efektyvumą ir įdiegė lubinų auginimą Aukštaitijos nederlingose žemėse kaip alternatyvą tradiciniams pūdymams.

Jis parengė ir paskelbė mokslinių darbų apie derliaus nuėmimą ir laikymą, bulvių sėklininkystę, bulvių auginimo ir dorojimo technologiją.

A. Puodžiuko moksliniai ir mokslo populiarinimo leidiniai:

1952 m. – "Žemdirbystės pagrindai" (su kitais autoriais, mokymo priemonė).

1976 m. – "Už derlingą bulvių hektarą" (su Ona Simanavičiene ir Jonu Mikalajūnu, informacinis leidinys).

1982 m. – "Kaip išauginti pastoviai gausų bulvių derlių" (su O. Simanavičiene, informacinis leidinys).

1985 m. – "Sėklinių bulvių auginimas" (informacinis leidinys). 

1988 m. – "Intensyvi bulvių auginimo technologija : metodinė konsultacija bulves auginantiems žemės ūkio specialistams".

1977–1978 m. jis kartu su agronomu mokslininku Petru Vasinausku Niūronyse įkūrė unikalų Arklio muziejų, buvo šio muziejaus organizacinės tarybos narys, iki gyvenimo pabaigos dalyvavo šio muziejaus organizacinėse veiklose kaip konsultantas ir garbės svečias. A. Puodžiukas buvo respublikinių žirgų sporto ir tradicinės kultūros švenčių "Bėk bėk, žirgeli!" iniciatorius ir organizatorius nuo 1978 m., dažniausiai kiekvienos šventės atidarymo metu pakeldavęs šventės vėliavą.

Jis buvo "Žinijos" draugijos respublikinio lygmens lektorius.

A. Puodžiukui suteiktas Lietuvos SSR nusipelniusio agronomo garbės vardas (1976 m.). Jis apdovanotas Lietuvos Didžiojo kunigaikščio Gedimino ordino medaliu (2005 m.). Lietuvos Respublikos 100-mečio proga jis apdovanotas Anykščių rajono savivaldybės "Šimtmečio anykštėno" atminimo ženklu (2018 m.).

Susituokė 1953 m. sausio 11 d. Anykščių bažnyčioje, žmona Angelė Žigaitė-Puodžiukienė (1927–2020) – gydytoja odontologė, gydytojo Antano Žigo (1884–1942) duktė. Liko našlys. Sūnūs: Virgaudas Puodžiukas (g. 1955 m.) – inžinierius kelininkas, Mindaugas Puodžiukas (g. 1957 m.) – pedagogas vadovas, duktė Dalia Puodžiukaitė-Štuikienė (g. 1963 m.).

Mirė 2020 m. lapkričio 16 d. Naujuosiuose Elmininkuose (Anykščių r.). Palaidotas Anykščių naujosiose kapinėse. Kapą ženklina pilkšvai rausvas paminklinis akmuo, kurio stačiakampėje ertmėje auga koloninis kukmedis, o nuožulnioje šlifuotoje viršutinėje plokštumoje iškaltas įrašas autentišku rankų rašto braižu: "Antanas Puodžiukas / 1923 10 03 + 2020 11 16 / Angelė Puodžiukienė / 1927 01 01 + 2020 11 08".