Gimimo data pagal naująjį kalendorių – 1884 m. spalio 24 d.

Seneliai: Juozapas Puodžiūnas (1811–1878) ir Teklė Pavilonytė-Puodžiūnienė (apie 1822 – 1907) iš Vajėšių – žemdirbiai. Tėvai: Vincentas Puodžiūnas (1846–1919) – matininkas, verslininkas, ir Ona Augustinaitė-Puodžiūnienė (1858–1940) iš Puodžių – žemdirbė. Augo penkių vaikų šeimoje, broliai Leonas Puodžiūnas ir Klemensas Puodžiūnas, seserys Veronika Puodžiūnaitė-? ir Emilija Puodžiūnaitė-?.

Skaityti išmokė tėvas ir daraktoriai. Vėliau per tris žiemas, vasaromis ganydamas gyvulius, jis baigė Anykščių pradžios mokyklą. Vaikystėje pasižymėjo muzikalumu, tai pastebėjo ir pas tėvus vasarojęs Žemaičių vyskupijos pavyskupis Antanas Baranauskas. Paauglystėje mokėsi vargonuoti pas Leliūnų (Utenos r.) vargonininką K. Treinį, 1901 m. baigė vargonininkų ir choro dirigentų kursus Kaune pas profesorių Juozą Naujalį.

1902–1904 m. S. Puodžiūnas dirbo vargonininku Rumšiškėse (Kaišiadorių r.), 1904–1907 m. – Kurkliuose (Anykščių r.), 1907–1908 m. – Tauragnuose (Utenos r.). Ten jis ruošdavo ir jaunimo vakarus, išmokė šokti suktinį ir klumpakojį.

1908–1911 m. jis buvo vargonininkas Ukmergėje. Sunkiai gavęs gubernatoriaus leidimą, 1909 m. gruodžio 25 dieną S. Puodžiūnas suruošė Ukmergėje pirmąjį lietuvišką vakarą: vaidino "Betliejaus stainelę", komediją "Velnias – ne boba", karo orkestras grojo suktinį, klumpakojį, choras dainavo lietuviškas dainas.

1911–1912 m. S. Puodžiūnas mokėsi Rygos (Latvija) muzikos institute vargonų ir rojalio klasėse, tuo pačiu metu vadovavo Rygos "Giedros" draugijos chorui.

1913–1918 m. jis vargonavo Liepojoje (Latvija), vadovavo įvairiems chorams (vokiečių, lotynų, lietuvių, latvių, lenkų, gimnazistų, zitiečių ir lietuvių teatraliniam). Per metus S. Puodžiūnas paruošdavo po keturis naujus lietuviškus vakarus, 1917 m. gruodį pastatė Česlovo Sasnausko kantatą "Broliai".

Bažnytiniame chore giedojo aštuoni Dvarionų šeimos nariai, o jaunajam Baliui Dvarionui (1904–1972), būsimajam kompozitoriui, dirigentui ir pianistui, S. Puodžiūnas buvo pirmasis muzikos mokytojas.

1918 m. jis gyveno Utenoje, vėliau persikėlė į Siesikus (Ukmergės r.), kur dirbo valsčiaus sekretoriumi, paskui dirbo Mažeikiuose, vėl grįžo į Uteną ir dirbo iždinės sąskaitininku.

1920 m. S. Puodžiūnas persikėlė į Kauną ir 1920–1921 m. dirbo centrinės statistikos biure. Mirus tėvui, jis paliko Kauną ir persikėlė arčiau motinos, 1921–1922 m. dirbo mokytoju Šlavėnų (Anykščių r.) pradžios mokykloje.

1922 m. vasarą S. Puodžiūnas apsigyveno Kavarske (Anykščių r.) ir 1922–1933 m. dirbo bažnyčioje vargonininku. Čia jis buvo subūręs nemažą chorą, su kuriuo daug koncertavo, dalyvavo dainų šventėse. 1929–1932 m. jis taip pat buvo Kavarsko valsčiaus viršaitis. 1933 m. vasario 12 d. Kavarske įkūrus šaulių ugniagesių komandą, S. Puodžiūnas buvo išrinktas jos valdybos nariu.

1933–1934 m. jis gyveno Jurbarke ir dirbo valstybinės degtinės parduotuvės vedėju.

1934–1941 m. S. Puodžiūnas gyveno Anykščiuose, vertėsi prekyba ir kartu aktyviai organizavo kultūrinę veiklą. Jis vadovavo dideliam (apie 60 žmonių) Anykščių šaulių kuopos chorui, kurį parengė 1938 m. Aukštaitijos dainų šventei Ukmergėje bei 1939 m. Šaulių dainų šventei Kaune. Jis taip pat režisavo spektaklius: pastatė Miko Petrausko operetę "Kaminkrėtys ir malūnininkas" (1935 m.) ir operą "Birutė" (1937 m.), Česlovo Sasnausko kantatą "Broliai" (1938 m.), ruošė daug koncertų, privačiai mokė vaikus muzikos. Jis buvo ir Gražinos Ručytės-Landsbergienės muzikos mokytojas. 

Anykščiuose S. Puodžiūnas parašė ir keletą muzikinių kūrinių, tarp jų – dainą mišriam oktetui "Kad numirsiu, man pakaskit..." pagal Jono Biliūno eiles, kuri buvo atlikta 1937 m., minint rašytojo mirties 30-metį.
 
1940–1941 m. jis dirbo Anykščių progimnazijoje muzikos mokytoju.

1941 m. vokiečių okupacijos pradžioje S. Puodžiūnas persikraustė į Kavarską, kur turėjo 8 ha žemės.

1944–1953 m. jis dirbo Kavarsko vidurinėje mokykloje muzikos mokytoju, pastatė M. Petrausko operetę "Consilium facultatis", vadovavo mokinių ir kitiems chorams. 1950 m. Dainų šventės proga įvykusiose respublikinėse varžybose jo vadovaujamas kolūkiečių choras laimėjo pirmąją vietą. 1949 m. S. Puodžiūnas Kavarske pakvietė į mokyklos chorą Mykolą Usonį – ilgiausiai Lietuvoje dainuojantį choristą, 2004 m. įrašytą į Lietuvos rekordų knygą.

Pablogėjus sveikatai, S. Puodžiūnas 1961 m. persikėlė į Ukmergę, kur ir praleido likusį savo gyvenimą nuosavame namelyje. Nuo 1965 m. iki gyvenimo pabaigos su pertraukomis jis vadovavo Ukmergės moterų pensininkių ansambliui.

S. Puodžiūnas Nepriklausomos Lietuvos metais buvo apdovanotas Didžiojo Lietuvos Kunigaikščio Gedimino 5-ojo laipsnio ordinu (1932 m.) ir Lietuvos Nepriklausomybės 10-mečio medaliu (1928 m.).

Laisvalaikiu mėgo skambinti fortepijonu, rinko ir užrašinėjo lietuvių liaudies dainas bei pritaikydavo jas chorams, puikiai žaidė šachmatais.

Vedė 1933 m., žmona Marijona Gasparskaitė-Puodžiūnienė (1909–1975) – pardavėja. Liko našlys.  Sūnus Algirdas Puodžiūnas (g. 1937 m.) – mokslininkas chemikas vaistininkas.

Mirė 1976 m. kovo 21 d. Ukmergėje. Palaidotas Kavarsko kapinėse prie tėvų ir žmonos. Kapą ženklina originalus skulptūrinis akmeninis paminklas su iškaltu augaliniu ąžuolo motyvu ir įrašu: "Puodžiūnai / Marija 1909–1975 / Stasys 1984–1976".

S. Puodžiūno biografija publikuojama Boleslovo Zubricko enciklopediniame žinyne "Pasaulio lietuvių chorvedžiai" (1999 m.).