Tėvas Povilas Jarašiūnas.

1922–1930 m. baigė Linkuvos (Pakruojo r.) gimnaziją 6-ojoje jos laidoje. 1930–1935 m. studijavo Kauno kunigų seminarijoje.

1935 m. birželio 15 d. Kauno arkikatedroje Kauno arkivyskupas Juozapas Skvireckas įšventino A. Jarašiūną kunigu. Kartu su juo buvo įšventinti Jonas Bagdonas, Jonas Petrėnas, Jonas Ragauskas, Juozapas Ražanskas, Aleksandras Masaitis, Feliksas Zenkevičius ir kiti kunigai. Pirmąsias Šv. Mišias jis aukojo 1935 m. birželio 28 d. Grūžių (Pasvalio r.) bažnyčioje.

Paskirtas 1935 m. rugpjūtį, 1935–1938 m. jis buvo vikaras Truskavoje (Kėdainių r.), perkeltas 1937 m. sausį, 1937–1942 m. – Pakruojo vikaras.

Paskirtas 1942 m. sausį, 1942–1944 m. A. Jarašiūnas buvo Surdegio (Anykščių r.) Švč. Mergelės Marijos Ėmimo į dangų parapijos klebonas.

Iškeltas 1944 m. sausį, 1944–1946 m. jis tarnavo Spitrėnų (Utenos r.) Švč. Mergelės Marijos, Taikos Karalienės parapijos administratoriumi. Perkeltas 1946 m. kovą, 1946–1951 m. jis buvo Kyburių (Pasvalio r.) Švč. Mergelės Marijos Angeliškosios parapijos administratorius.

Paskirtas 1951 m. sausio 10 d., 1951–1956 m. A. Jarašiūnas tarnavo Antašavos (Kupiškio r.) Šv. Hiacinto (Jackaus) parapijos administratoriumi, pasižymėjo kaip veiklus ir pamaldus kunigas.

Mirė 1956 m. gegužės 5 d. Antašavoje (Kupiškio r.) – staiga mirė važiuodamas dviračiu.