Tėvai: Pranas Vytenis Vitkus (1925–2019) – pedagogas rusų kalbos mokytojas ir Stanislava Bakuraitė-Vitkienė (1929–2018) – pedagogė prancūzų kalbos mokytoja. Brolis Gintaras Vitkus (g. 1961 m.) – inžinierius, verslininkas, vadovas.

1964–1975 m. mokėsi Anykščių Jono Biliūno vidurinėje mokykloje. 1975–1980 m. studijavo Vilniaus inžineriniame statybos institute, įgijo statybos inžinieriaus išsilavinimą.

1980–1982 m. R. Vitkus dirbo Anykščių Statybos remonto valdyboje darbų vykdytoju. 1982–1986 m. jis buvo Anykščių rajono Vykdomojo komiteto kapitalinės statybos skyriaus viršininkas, 1986–1987 m. dirbo "Anykščių šilelio" kolūkio (Burbiškis) vyriausiuoju inžinieriumi statybininku.

1987–2005 m. R. Vitkus buvo Anykščių maisto produktų kombinato, vėliau – akcinės bendrovės "Anykščių vynas" vyriausiasis statybininkas, statybos remonto darbų ir statinių priežiūros skyriaus viršininkas.

Nuo 1994 m. jis buvo uždarosios akcinės bendrovės "Termotaupa" (inžinerinės komunikacijos) steigėjas (su Albertu Pipiru) ir akcininkas, nuo 2005 m. – šios įmonės inžinierius, vėliau – bendrovės statybos direktorius, kol 2019 m. bendrovei buvo paskelbtas bankrotas.

1988 m. jis kartu su Albertu Pipiru įkūrė "Anykščių vyno" sporto klubą ir buvo jo vadovas, kol 1999 m. šis klubas buvo pertvarkytas į "Motorsporto" klubą. Nuo 1999 m. iki šiol jis yra Anykščių technikos sporto klubo "Motorsportas" pirmininkas. Vadovaudamas šiam klubui, R. Vitkus organizavo Anykščiuose pirmąsias automobilių kroso varžybas – 1991 m. Lietuvos autokroso čempionato etapą, paskui – 1992 m. Lietuvos autokroso čempionatą trasoje pietiniame Anykščių priemiestyje, netoli Šlavėnų. Nuo 2000 m. autokroso varžybas jis rengia Anykščių kartodrome, nuo 2005 m. organizuoja ir kartingo sporto fanų čempionatus.

Nuo 2005 m. R. Vitkus dirba šiame klube, teikia vairavimo įgūdžių ugdymo ir techninių pramogų paslaugas, eksploatuoja Anykščių kartodromą.

1995–2003 m. R. Vitkus buvo Lietuvos centro sąjungos, nuo 2003 m. – Liberalų ir centro sąjungos narys.

1997–2000 m. ir 2003–2007 m. jis buvo Anykščių rajono savivaldybės tarybos narys.

R. Vitkus yra sportininkas autokrosininkas, 1989–2005 m. dalyvaudavo Lietuvos automobilių kroso čempionatuose bagių klasėje, 1994–2005 m. buvo Lietuvos autokroso rinktinės narys, nuo 1992 m. dalyvavo ir tarptautinėse varžybose. Jis yra Lietuvos sporto meistras, Lietuvos automobilių sporto federacijos apeliacinio teismo teisėjas.

Europos autokroso čempionato bagių klasėje jis laimėjo XII vietą (1997 m.), XIII vietą (1998 m.), XV vietą (1999 m.), X vietą (2000 m.), IX vietą (2001 m.), XI vietą (2002 m.). Baltijos šalių autokroso čempionate bagių klasėje jis užėmė II vietą bendrojoje įskaitoje (2004 m.), laimėjo atskirąjį etapą Bauskėje (Latvija).

Jis buvo Lietuvos autokroso čempionas bagių klasėje (1999, 2005 m.), iškovojo II vietą (1998 m.) ir III vietą (1997, 2004 m.).

Vedė 1980 m., žmona Alvyta Žebrauskaitė-Vitkienė (g. 1958 m.) – ekonomistė, valstybės tarnautoja. Dukterys: Regvyta Vitkutė-Gelumbauskienė (g. 1982 m.) ir Beatričė Vitkutė (g. 1984 m.) – teisininkė.