Tėvai: Mykolas Bružas (1904–1975) ir Veronika Bružienė (1907–1998). Sesuo Zita Irena Bružaitė (1939–1980) – mokslininkė filologė.  

Iki 1942 m. augo ir mokėsi Kurkliuose, vėliau, tėvams persikėlus, – Ukmergėje. Vaikystėje ir mokykliniais metais dalyvavo vaidybos mėgėjų veikloje, lankė moksleivių dramos būrelį.

1951 m. baigė Ukmergės 1-ąją vidurinės mokyklą. 1951–1956 m. studijavo Lietuvos konservatorijoje (dabar – Lietuvos muzikos ir teatro akademija), baigė studijas 1-ojoje aktoriaus meistriškumo katedros laidoje (vadovai Andrejus Poliakovas ir Jonas Kavaliauskas), įgijo teatro aktoriaus išsilavinimą.

1956–1960 m. A. Bružas dirbo Kapsuko (dabar – Marijampolė) dramos teatre aktoriumi. 1960–1993 m. jis buvo Lietuvos akademinio dramos teatro aktorius, nuo 1993 m. iki gyvenimo pabaigos vaidino teatrų pastatymuose ir projektuose.

Teatrų scenose jis sukūrė per 100 įvairių vaidmenų.

Aktoriaus Algimanto Bružo vaidmenys:

1955 m. – antrasis važinėjantis grafienės liokajus Levo Tolstojaus komedijoje "Švietimo vaisiai" (režisierius Romualdas Juknevičius).

1956 m. – Edvardas Antano Vienuolio "Prieblandoje" (režisierius Jonas Kavaliauskas).

1957 m. – Žonvalis Alfredo Jarry "Šeštasis aukštas" (režisierius Stasys Čaikauskas).

1958 m. – Teodoras Felixo Lope de Vegos "Šuo ant šieno" (režisierius Stasys Čaikauskas).

1960 m. – Danas Aldžius Jono Kavoliūno draminėje pasakoje "Aš matau saulę" (režisierius Juozas Rudzinskas).

1961 m. – Pasakininkas Jevgenijaus Švarco pasakoje "Sniego karalienė" (režisierius Romualdas Juknevičius), Klaudijus Williamo Shakespeare komedijoje "Daug triukšmo dėl nieko" (režisierius Aleksandras Kernagis), darbininkas, kareivis ir jūreivis Nikolajaus Pogodino pjesėje "Trečioji patetinė" (režisierius R. Juknevičius).

1962 m. – Velas Ksavjė Tennessee Williamso dramoje "Orfėjus nusileidžia į pragarą" (režisierius Romualdas Juknevičius), M. A. Rakitinas Ivano Turgenevo komedijoje "Mėnuo kaime" (režisierius R. Juknevičius), Jurijus Deržavinas Leonido Zorino draminėje kronikoje "Draugai ir metai" (režisierius Juozas Rudzinskas).

1963 m. – Reži Kastel-Benakas Marcelio Pagnolio pjesėje "Topazas" (režisierius Juozas Rudzinskas), Gestapo karininkas M. Kunderos dramoje "Raktų savininkai" (režisierius Vytautas Čibiras).

1964 m. – totorius Maksimo Gorkio dramoje "Dugne" (režisierius Juozas Rudzinskas), vienas iš atlikėjų literatūriniame koncerte, skirtame Salomėjos Nėries 60-osioms gimimo metinėms, "Aš juk lieku visada su jumis" (režisierė Stefa Nosevičiūtė), O. T. Usovskis D. Pavlovo pjesėje "Sąžinė" (režisierius Vytautas Čibiras), vienas ir vestuvių svečių Žemaitės apsakymų inscenizacijos "Marti" atnaujinime (režisierė Kazimiera Kymantaitė).

1965 m. – ministras ir pirmasis miestietis Johanno Wolfgango von Goethe tragedijoje "Faustas" (režisierius Juozas Rudzinskas), Jonas Petro Cvirkos romano "Meisteris ir sūnūs" inscenizacijoje (režisierius Vladas Jurkūnas).

1966 m. – karininkas Leonido Leonovo pjesėje "Antpuolis" (režisierius Henrikas Vancevičius), tamsusis vyras Vinco Krėvės dramoje "Skirgaila" (režisierius Romualdas Juknevičius), Robis Friedricho Josefo Durrenmatto tragikomedijoje "Damos vizitas" (režisierius Vytautas Čibiras), Zelmantas Grigorijaus Kanovičiaus pjesėje "Penketas ir viena" (režisierius Vladas Limantas).

1967 m. – Vilius Stalionis Ramutės Skučaitės pjesėje "...ir teisė mylėti" (režisierė Stefa Nosevičiūtė), Rėžys Juliaus Būtėno ir Aleksandro Kernagio dokumentinėje dramoje "Kad ir šimtą gyvenimų..." (režisierius A. Kernagis).

1968 m. – Verneris Jeano Paulo Sartro pjesėje "Altonos atsiskyrėliai" (režisierius Henrikas Vancevičius), M. A. Rakitinas Ivano Turgenevo komedijos "Mėnuo kaime" naujame pastatyme (režisierė Stefa Nosevičiūtė), A. Žibaitis Juliaus Būtėno ir Aleksandro Kernagio dramoje "Pamilau dangaus žydrumą" (režisierius A. Kernagis).

1969 m. – Zyvertas Justino Marcinkevičiaus dramoje-poemoje "Mindaugas" (režisierius Henrikas Vancevičius), operatorius Vytauto Rimkevičiaus pjesėje "Paskolinkit ašarų" (režisierė Kazimiera Kymantaitė).

1970 m. – Kristupas Dangelis Jono Avyžiaus ir Henriko Vancevičiaus dramoje "Sūkuryje" (režisierius Henrikas Vancevičius), Gaidys Samuilo Maršako pasakoje "Katės namai" (režisierė Monika Mironaitė), Hercogas-Karaskas Dale Wassermano ir Joe Dariono .miuzikle "Žmogus iš La Mančos" (režisierius Algirdas Lapėnas).

1971 m. – šnipas Justino Marcinkevičiaus dramoje "Katedra" (režisierius Henrikas Vancevičius), Storulis Aleksejaus Arbuzovo komedijoje "Senamiesčio pasakos" (režisierius Algirdas Lapėnas), vienas iš Dulsinėjos garbintojų Aleksandro Volodino pjesėje "Dulsinėja iš Toboso" (režisierė Irena Bučienė), Ivanas Ivanovičius Mizinčikovas Fiodoro Dostojevskio sceninėje kompozicijoje "Stepančikovo dvaras ir jo gyventojai" (režisierius Jonas Vaitkus).

1972 m. – Ipolitas Sekeržinskis ir darbininkas N. Matukovskio komedijoje "Amnestija" (režisierius Algirdas Lapėnas), milicininkas Jevgenijaus Švarco pasakoje "Raudonkepuraitė" (režisierius A. Lapėnas).

1973 m. – gydytojas Karelo Čapeko komedijoje "Makropulo receptas" (režisierė Irena Bučienė), vyskupas Antono Hanseno Tammsaarės pjesėje "Karaliui šalta" (režisierius I. Tamuras). 

1974 m. – seras Oliveris Serfisas Richardo Brinsley Sheridano komedijoje "Intrigų mokykla" (režisierius Algirdas Lapėnas).

1975 m. – totorius Maksimo Gorkio dramoje "Dugne" (režisierius Juozas Rudzinskas), Kristupas Dangelis Jono Avyžiaus "Sodybų tuštėjimo metas" inscenizacijoje (režisierius Henrikas Vancevičius), tarybinių ūkių grupės direktorius Boriso Dauguviečio komedijoje "Žaldokynė" (režisierė Kazimiera Kymantaitė).

1976 m. – M. A. Rakitinas Ivano Turgenevo komedijos "Mėnuo kaime" atnaujintame pastatyme (režisierė Stefa Nosevičiūtė).

1977 m. – Viktoras Čeremienis I. Erkonio eleginėje komedijoje "Žaidžiame kates" (režisierius Petras Bielskis), vienas iš Teilor svečių Alberto Laurinčiuko dramoje "Neapykantos spalva" (režisierius Henrikas Vancevičius), seras Hju Evansas Williamo Shakespeare komedijoje "Vindzoro šmaikštuolės" (režisierius H. Vancevičius).

1978 m. – Meisteris Doveika Petro Cvirkos romano "Meisteris ir sūnūs" atnaujintoje inscenizacijoje (režisierė Kazimiera Kymantaitė), artistas Justino Marcinkevičiaus draminėje giesmėje "Mažvydas" (režisierius Henrikas Vancevičius), vestuvių svečias Žemaitės apsakymų inscenizacijos "Marti" atnaujinime (režisierė K. Kymantaitė).

1979 m. – Flemingas Balio Sruogos istorijos kronikoje "Kazimieras Sapiega" (režisierius Henrikas Vancevičius), Rikardas Carlo Goldonio komedijoje "Juokingas nuotykis" (režisierius Raimondas Polis), pirmasis praeivis Marios Claros Machado pjesėje vaikams "Žydrasis arkliukas" (režisierius Rimas Tuminas), Tėvas Sofijos Kymantaitės-Čiurlionienės pasakoje "Dvylika brolių juodvarniais lakstančių" (režisierė Irena Bučienė), Stanislovas Ciolekas Balio Sruogos istorijos kronikoje "Milžino paunksmė" (režisierė Kazimiera Kymantaitė).

1980 m. – senas čigonas Ignatijaus Dvoreckio dramoje "Veranda miške" (režisierius Henrikas Vancevičius), senjoras Luidžis Rokas George Šechode pjesėje "Emigrantas iš Brisbeno" (režisierius Rimas Tuminas).

1981 m. – Žmogus Jano-Olofo Ekholmo pjesėje vaikams "Liudvikas Keturioliktasis" (režisierė Irena Bučienė), imperatorius Pranciškus Juozapas V. Konstantinovo ir B. Racerio komedijoje-farse pagal Jaroslavą Hašeką "Juozapas Šveikas prieš Pranciškų Juozapą" (režisierius Algirdas Lapėnas).

1982 m. – geriausias draugas Edwardo Franklino Albee dramoje "Viskas baigta" (režisierius Bronius Morkevičius), klebonas Antano Žukausko-Vienuolio inscenizacijos "Paskenduolė" atnaujinime (režisierė Kazimiera Kymantaitė). 

1983 m. – Viljamas Ralsas Johno Osborno pjesėje "Komediantas" (režisierius Henrikas Vancevičius).

1984 m. – Brolis Jėga Michailo Bulgakovo pjesėje "Moljeras" (režisierė Irena Bučienė), klebonas Bakšys Prano Treinio pjesėje "Ančiuko kryžius" (režisierė Irena Bučienė).

1985 m. – Kanapinis Kosto Kubilinsko pasakoje "Molio Motiejukas" (režisierė Stefa Nosevičiūtė), milicininkas Jevgenijaus Švarco pasakoje "Raudonkepuraitė" (režisierius Algirdas Lapėnas), tarybinių ūkių grupės direktorius Boriso Dauguviečio komedijos "Žaldokynė" atnaujinime (režisierė Kazimiera Kymantaitė).

1986 m. – Semionas Smionovičius Dvojetočije Maksimo Gorkio pjesėje "Vasarotojai" (režisierius Henrikas Vancevičius), Meistras lėlių dirbėjas Violetos Palčinskaitės pjesėje-pasakoje "Spyruoklinis kareivėlis" (režisierius Algirdas Lapėnas).

1987 m. – Daugaila Vinco Krėvės istorinėje dramoje "Skirgaila" (režisierius Henrikas Vancevičius), partizanas Vidmantės Jasukaitytės pjesėje "Vilkų medžioklė" (režisierius Gytis Padegimas).

1988 m. – vaidmenys Valdo Kukulo ir Rimo Tumino teatro vaidinime "Čia nebus mirties" (režisierius Rimas Tuminas), Natanaelis Jetelis Gerharto Hauptmanno tragikomedijoje "Žiurkės" (režisierius Henrikas Vancevičius).

1989 m. – klebonas Antano Žukausko-Vienuolio apsakymo "Paskenduolė" inscenizacijos atnaujinime (režisierė Kazimiera Kymantaitė). 

1990 m. – teisėjas Joshua Sobolo dramoje "Getas" (režisierius Jonas Vaitkus), Sultonas Aldonos Liobytės pasakoje apie meilę "Kuršiukas" (režisierė Stefa Nosevičiūtė).

1991 m. – daktaras Ninkovičius Bronislavo Nušičiaus komedijoje "Ponia ministerienė" (režisierius Algirdas Lapėnas), pasiuntinys Thomo Stearnso Elioto pjesėje "Žmogžudystė katedroje" (režisieriuus Olegas Kesminas), Lapinas jaunikis Vinco Pietario pasakoje "Lapės gyvenimas ir mirtis" (režisierė Stefa Nosevičiūtė).

1993 m. – ponas Randolfas Katherine Paterson pjesėje "Smarkuolė Gilė Hopkins" (inscenizacijos autorė ir režisierė Kristina Gudonytė).

1995 m. – ponas Augusto Strindbergo pjesėje "Sapnas" (režisierius Jonas Vaitkus), prieglaudos direktorius Selestas Alberto Camus  romano "Svetimas" inscenizacijoje (režisierius Gintaras Varnas), bajoras Juozo Grušo dramoje "Barbora Radvilaitė" (režisierė Irena Bučienė), tarybinių ūkių grupės direktorius Boriso Dauguviečio komedijos "Žaldokynė" atnaujinime (režisierė Kazimiera Kymantaitė).

1996 m. – Vilis Klarkas Neilo Simono lyrinėje komedijoje "Šaunieji vyrukai" (režisierius Olegas Kesminas).

2001 m. – Chmelikas Osvaldo Zahradniko lyriškoje dramoje "Solo laikrodžiui su gegute" (režisierius Ramutis Rimeikis).

2005 m. – Pensininkas ir Ponas Augusto Strindbergo dramoje "Sapnas" (režisierius Jonas Vaitkus).

2006 m. – Blažiejus Žemgirdas Juozo Glinskio pjesėje "Vieno tėvo vaikai" (režisierius Gytis Padegimas).

2007 m. – Antanas Vienuolis Rimanto Vanago teatrinėje interpretacijoje "Vaistininko širdis" (režisierė Rūta Smalskienė).

A. Bružas sukūrė ir kelis vaidmenis kine: ponas Finčlis režisieriaus Marijono Giedrio filme "Amerikoniškoji tragedija" (Lietuvos kino studija, 1980–1981 m.), inspektorius režisieriaus Artūro Pozdniakovo filme "Visi prieš vieną" (Lietuvos kino studija, 1986 m.), epizodinis vaidmuo kino filme "Edeno sodas" (režisierius Algimantas Puipa, 2015 m.). Jis vaidino Lietuvos televizijos filme "Barbora Radvilaitė" (režisierius Vidmantas Bačiulis, 1982 m.)

A. Bružas vaidino Lietuvos radijo teatro pastatymuose, radijo fonotekai įgarsino gausią literatūros kūrinių kolekciją, nuo 1975 m. režisavo radijo teatro spektaklius.

Jis buvo žinomas ir kaip skaitovas, nuo 1965 m. dažniausiai skaitydavo lietuvių prozininkų Jono Avyžiaus, Petro Cvirkos, Vytauto Martinkaus, Vytauto Rimkevičiaus, Antano Vienuolio kūrinius.

A. Bružas kaip profesionalus skaitovas taip pat parengė daug grožinės literatūros kūrinių įrašų aklųjų fonotekai.

A. Bružui buvo suteiktas Lietuvos SSR nusipelniusio artisto garbės vardas (1982 m.).

Buvo vedęs, žmona Elvyra Žebertavičiūtė (g. 1932 m.) – aktorė. Išsiskyrė. Duktė Faustina Bružaitė – žurnalistė.

Vėl vedė 1969 m., žmona Rita Tamašauskaitė-Bružienė. Duktė Šarūnė Bružaitė.

Mirė 2019 m. birželio 27 d. Vilniuje. Palaidotas Vilniaus Rokantiškių kapinėse šeimos kape (17B sektorius, 1 eilė, 9 kapas). Kapą ženklina pilkas akmeninis paminklas-stela su iškaltu įrašu: "Zita Bružaitė / 1939–1980 / Mykolas Bružas / 1904–1975 / Veronika Bružienė / 1907–1988".

Lietuvos literatūros ir meno archyve saugomas Algimanto Bružo dokumentų asmeninis fondas (F. 582).