Tėvai: Povilas Čiučkis (1864–1957) ir Konstancija Bajorūnaitė-Čiučkienė (1890–1968) iš Šukionių – žemdirbiai ūkininkai, turėjo 27 hektarus žemės. Abu tėvai 1949 m. kovo 28 d. ištremti į Irkutsko sritį (Rusija), tėvas ten mirė, tik motina 1958 m. grįžo į Lietuvą. Augo devynių vaikų šeimoje su keturiais broliais ir keturiom seserimis. Seserys ir broliai: Adelė Čiučkytė (1914–?) – pedagogė, sesuo dvynė Magdalena Čiučkytė-? (1915–?) – žemdirbė, Jonas Čiučkis (1918–1941) – studentas, miręs jaunystėje, Antanas Čiučkis (1920–?) – žemdirbys, Juozas Čiučkis (1922–?) – žemdirbys, Janina  Čiučkytė (g. 1924 m.) – pedagogė, vienuolė kazimierietė, emigrantė JAV, Matas Čiučkis (1925–1968) – pedagogas, 1949–1959 m. tremtinys Irkutsko srityje (Rusija), Ona Čiučkytė-Stonienė (1932–1998) – 1949–1958 m. tremtinė Irkutsko srityje (Rusija).

Mokėsi Vabalninko (Biržų r.) pradžios mokykloje, Biržų gimnazijoje, 1933 m. baigė Panevėžio berniukų gimnaziją. 1933–1940 m. mokėsi Kauno tarpdiecezinėje kunigų seminarijoje ir Kauno Vytauto Didžiojo universiteto Teologijos-filosofijos fakultete.

1940 m. birželio 16 d. Panevėžio katedroje vyskupas Kazimieras Paltarokas P. Čiučkį įšventino kunigu. Kartu buvo įšventintas Juozas Merkys ir kiti kunigai. Pirmąsias Šv. Mišias jis aukojo birželio 29 d. gimtosios Vabalninko parapijos bažnyčioje.

1940–1941 m. jis tarnavo vikaru Rageliuose (Rokiškio r.), 1941–1942 m. buvo vikaras Truskavoje (Kėdainių r.), 1942–1944 m. – vikaras ir kapelionas Kupiškyje, 1944–1945 m. – Naujamiestyje (Panevėžio r.), 1945–1946 m. – Pandėlyje (Rokiškio r.), 1946 m. trumpai tarnavo Pasvalio vikaru.

1946–1950 m. P. Čiučkis buvo Suosto (Biržų r.) Šv. Kryžiaus Išaukštinimo parapijos klebonas, pastatė naują šios parapijos kleboniją. 1950–1960 m. jis tarnavo Tauragnų (Utenos r.) Šv. Jurgio parapijos klebonu. Po Antrojo pasaulinio karo jis globojo ir šelpė savo artimuosius, patyrusius tremtį ir persekiojimus.

1960–1966 m. P. Čiučkis buvo Troškūnų (Anykščių r.) Švč. Trejybės parapijos administratorius ir Raguvos dekanato dekanas.

1966–1975 m. jis tarnavo Panevėžio Kristaus Karaliaus katedros klebonu, buvo Panevėžio dekanato dekanas.

1975–1985 m. jis buvo Rokiškio Šv. Mato parapijos klebonas ir Rokiškio dekanas. 1980–1981 m. Rokiškyje jis ugdė vikarą Stasį Tamulionį. Rokiškyje, nepaisydamas sovietinės valdžios trukdymų ir persekiojimo, jis pradėjo aktyvią veiklą su jaunimu, subūrė apie 50 nuolatinių procesijų dalyvių.

1985–1990 m., iki gyvenimo pabaigos P. Čiučkis gyveno Svėdasuose (Anykščių r.) kaip Šv. arkangelo Mykolo parapijos altarista, rengėsi kunigystės 50-mečio sukakčiai, bet jos nebesulaukė.

Artimųjų atmintyje kunigas liko kaip savo giminės vienytojas, tautinių ir patriotinių jausmų skatintojas.

Mirė 1990 m. vasario 16 d. Svėdasuose (Anykščių r.). Palaidotas Svėdasų bažnyčios šventoriuje prie kitų kunigų. Kapą ženklina antkapinis akmens paminklas-stela su iškaltu portretu ir įrašais: "A + A / Kun. Povilas Čiučkis / 1915–1990" ir "Tavim pasitikėjau, Viešpatie, / ir amžiais nebūsiu apviltas. / P. 8, 30".