Tėvai: Vaclovas Savčiukas (?–1948) iš Baranovičių (Baltarusija) – šaltkalvis ginklų meistras ir Juozapota Jakubauskaitė-Savčiukienė (?–1945) iš Subačiaus – dvaro darbininkė, namų šeimininkė. Augo keturių vaikų šeimoje su trim seserimis.

1918 m. rugsėjo 1 d. buvo pakrikštytas Jaroslavlio bažnyčioje.

1920 m. su tėvais atvyko į Lietuvą, augo Kaune, 1927–1928 m. baigė pirmąją klasę Kauno pradžios mokykloje. Tėvams persikėlus, augo Pajuostėje (Panevėžio r.), 1928–1930 m. baigė Pajuostės pradžios mokyklą. 1930–1938 m. baigė Panevėžio berniukų gimnaziją. 1938–1945 m. studijavo Kauno tarpdiecezinėje kunigų seminarijoje. 1944 m. kovo 25 d. buvo įšventintas subdiakonu, 1944 m. liepos 10 d. – diakonu.

1945 m. sausio 14 d. vyskupas Kazimieras Paltarokas Kauno arkikatedroje bazilikoje įšventino F. Savčiuką kunigu.

Atvykęs 1945 m. liepą, 1945–1946 m. F. Savčiukas tarnavo Tauragnų (Utenos r.) parapijoje vikaru. 1945 m. gruodį jis buvo trumpam išsiųstas į Spitrėnų (Utenos r.) parapiją pavaduoti sergančio klebono.

Perkeltas 1946 m. spalį, keturis mėnesius jis buvo Smilgių (Panevėžio r.) parapijos vikaras. Paskirtas 1947 m. vasarį, F. Savčiukas pusmetį buvo Rozalimo (Pakruojo r.) parapijos klebonas, bet 1947 m. rugpjūtį pusmečiui perkeltas į Klovainių (Pakruojo r.) parapiją vikaru.

Atvykęs 1948 m. vasarį, iki tų pačių metų birželio jis tarnavo vikaru Vabalninko (Biržų r.) parapijoje.

Paskirtas 1948 m. gegužę ir atvykęs birželio 5 d., 1948–1949 m. F. Savčiukas buvo Svėdasų (Anykščių r.) parapijos vikaras, talkino klebonui Antanui Survilai, pasižymėjo uolumu ir paprastumu. Svėdasuose pasireiškus džiovos simptomams, 1949 m. pavasarį jam buvo leista metus gydytis sanatorijoje, neatliekant kunigo pareigų. Nuo 1949 m. gegužės iki 1950 m. pavasario jis gydėsi, gyvendamas prie Vajasiškio (Zarasų r.) bažnyčios.

Pagerėjus sveikatai, atvykęs 1950 m. gegužę, 1950–1956 m. F. Savčiukas buvo Inkūnų (Anykščių r.) Švč. Aušros Vartų Dievo Motinos parapijos administratorius.

Paskirtas 1956 m. liepą, 1956–1974 m. jis tarnavo Ragelių (Rokiškio r.) Švč. Mergelės Marijos parapijos administratoriumi. Rageliuose jis suremontavo bažnyčią.

Paskirtas 1974 m. gegužę, 1974–1975 m., iki gyvenimo pabaigos F. Savčiukas buvo Skiemonių (Anykščių r.) Švč. Mergelės Marijos Aplankymo parapijos klebonas.

Amžininkų liudijimu buvo silpnos sveikatos, bet nuoširdus ir inteligentiškas, nors ir nepasižymėjo geru balsu ar iškalba.

Mirė 1975 m. rugsėjo 11 d. Skiemonyse (Anykščių r.) – žuvo avarijoje, važiuodamas motociklu. Palaidotas Skiemonių bažnyčios šventoriaus kapinėse. Kapą ženklina akmeninis paminklas-stela su įgilintu Švč. Mergelės Marijos bareljefu ir iškaltu įrašu: "Tešviečia, Viešpatie, / amžinoji šviesa / kunigui / Feliksui Savčiukui / 1918.VIII.21. / –1945– / 1975.IX.11.".