Tėvai: Justinas Sližys (1894–1981) ir Justina Sližytė-Sližienė (1906–1996) – valstiečiai žemdirbiai. Brolis Alfonsas Sližys (1927–1992) – amatininkas dažytojas.

1934–1938 m. mokėsi Skiemonių (Anykščių r.) pradžios mokykloje, 1938–1940 m. baigė Alantos (Molėtų r.) šešių skyrių pradinę mokyklą. 1940–1946 m. mokėsi Utenos mergaičių gimnazijoje. 1946–1950 m. studijavo Vilniaus pedagoginio instituto Gamtos-geografijos mokslų fakultete, įgijo chemijos ir biologijos mokytojos išsilavinimą.

1950–1951 m. A. Vilkončienė dirbo Troškūnų (Anykščių r.) vidurinėje mokykloje biologijos ir chemijos mokytoja.

1951 m. ji persikėlė į Ukmergę ir dirbo Ukmergės 1-ojoje vidurinėje mokykloje biologijos mokytoja, bet dėl nepatogių darbo sąlygų šio darbo atsisakė. 1952–1958 m. ji buvo Ukmergės darbo jaunimo vidurinės mokyklos chemijos ir biologijos mokytoja.

Nuo 1958 m. iki gyvenimo pabaigos A. Vilkončienė gyveno Anykščiuose.

1958–1983 m. ji dirbo Anykščių Jono Biliūno vidurinėje mokykloje chemijos mokytoja, buvo jaunųjų chemikų būrelio vadovė, kol išėjo į pensiją. Šioje mokykloje ji išleido septynias savo auklėtinių abiturientų laidas (1962, 1965, 1967, 1970, 1972, 1976, 1979 m.). Nuo 1958 m. ji kiek laiko ėjo ir šios mokyklos bendrabučio auklėtojos pareigas.

A. Vilkončienė dirbo ir pavaduojančiąja biologijos ir chemijos mokytoja Anykščių rajono mokyklose: Anykščių vakarinėje (pamaininėje) vidurinėje mokykloje (1968 m. lapkritį–gruodį), Anykščių vakarinėje (pamaininėje) neakivaizdinėje vidurinėje mokykloje (1970 m. kovą–gegužę, 1972 m. vasarį–kovą, 1972 m. spalį–lapkritį, 1974 m. balandį–gegužę, 1984 m. lapkritį, 1985 m. sausį–kovą ir 1987 m. sausį), Anykščių 2-ojoje vidurinėje mokykloje (1970 m. gruodį – 1971 m. sausį ir 1971 m. gruodį – 1972 m. sausį), Anykščių A. Vienuolio vidurinėje mokykloje (1985 m. sausį, vasarį ir rugsėjį). Išėjusi į pensiją, 1986 m. sausį–vasarį ji buvo ir Anykščių J. Biliūno vidurinės mokyklos pavaduojančioji mokytoja.

Laisvalaikiu mėgo skaityti knygas, auginti naminius gyvūnus.

Ištekėjo 1949 m., vyras Ipolitas Vilkončius (1927–2007) – miškininkas. Vaikai: Eglė Vilkončiūtė-Šenavičienė (g. 1950 m.) – pedagogė edukologė, šeimos psichologė, ir Arūnas Vilkončius (g. 1955 m.) – pedagogas, dailininkas. Anūkas Audrius Šenavičius (1978–2013) – valstybės tarnautojas, muitinės pareigūnas, žuvęs tarnyboje Kosove.

Mirė 2021 m. balandžio 18 d. Anykščiuose. Palaidota Anykščių senosiose kapinėse šeimos kape prie tėvų ir vyro. Kapą ženklina bendras akmeninis paminklas-stela šeimai su iškaltu įrašu joje: "Sližienė Justina / 1906–1996 /  Sližys Justinas / 1894–1981 / Sližys Alfonsas / 1927–1992" ir iškaltu įrašu postamente: "Vilkončiai / Ipolitas / 1927–2007 / Angelė / 1928–".